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Seconde · Mathématiques · Chapitre 4

Calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables

Ce que tu sauras faire

  • Identifier si une expression est une somme ou un produit, puis la réduire.
  • Développer une expression par simple ou double distributivité sans erreur de signe.
  • Énoncer, démontrer et utiliser les trois identités remarquables.
  • Factoriser par un facteur commun ou en reconnaissant une identité, en particulier a² − b².
  • Choisir la forme développée ou factorisée la mieux adaptée à la question posée.
  • Réduire des expressions rationnelles simples au même dénominateur.
  • Démontrer une égalité ou une inégalité par le calcul, et réfuter une affirmation par un contre-exemple.

Au programme du chapitre

  1. Expressions algébriques : vocabulaire et réduction
  2. Développer : simple et double distributivité
  3. Les trois identités remarquables
  4. Factoriser
  5. Choisir la forme la plus adaptée
  6. Expressions rationnelles : réduire au même dénominateur
  7. Démontrer une égalité ou une inégalité
  8. Programmes de calcul, preuve algébrique et contre-exemple

Exercices corrigés

Exercice 1

L'expression 3x(x−2)+53x(x-2)+5 est-elle une somme ou un produit ? Et l'expression 3x(x−2)3x(x-2) ?
Un coup de pouce
Imagine que tu calcules l'expression pour x=4x=4 : quelle est la toute dernière touche que tu tapes sur la calculatrice ?
Voir la correction pas à pas
On regarde la dernière opération effectuée en respectant les priorités. Dans 3x(x−2)+53x(x-2)+5, on calcule d'abord le produit 3x(x−2)3x(x-2), puis on ajoute 5 : la dernière opération est une addition, c'est donc une somme de deux termes, 3x(x−2)3x(x-2) et 5. Dans 3x(x−2)3x(x-2), la dernière opération est la multiplication de 3x3x par (x−2)(x-2) : c'est un produit. Conséquence pratique : 3x(x−2)+53x(x-2)+5 n'est pas une forme factorisée.

Exercice 2

Un élève affirme que (x+5)2=x2+25(x+5)^2=x^2+25 et le « prouve » en remplaçant xx par 0 : il obtient 25 des deux côtés. Qu'en penses-tu ?
Un coup de pouce
Essaie une autre valeur que 0, puis demande-toi pourquoi 0 donnait l'illusion que c'était juste.
Voir la correction pas à pas
Un exemple ne prouve pas une égalité valable pour tout xx. D'ailleurs, (x+5)2=x2+10x+25(x+5)^2=x^2+10x+25 : les deux membres ne sont égaux que lorsque 10x=010x=0, c'est-à-dire pour x=0x=0 seulement. Le choix de 0 était donc le seul qui « marchait ». Un contre-exemple suffit à réfuter l'affirmation : pour x=1x=1, (1+5)2=36(1+5)^2=36 alors que 12+25=261^2+25=26. L'affirmation est fausse.

Les pièges à éviter

  • Écrire (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2.
  • Écrire −(x−3)=−x−3-(x-3)=-x-3.
  • Écrire 2x×3x=6x2x\times 3x=6x.
  • Écrire (3x)2=3x2(3x)^2=3x^2.

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