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Seconde · Mathématiques · Chapitre 5

Équations et inéquations

Ce que tu sauras faire

  • Vérifier qu'un nombre est solution et décrire un ensemble de solutions
  • Résoudre une équation du premier degré en justifiant chaque équivalence
  • Factoriser pour se ramener à une équation produit nul et démontrer la règle
  • Résoudre les équations du type x² = a selon le signe de a
  • Résoudre une équation quotient nul en tenant compte des valeurs interdites
  • Résoudre une inéquation du premier degré et écrire ses solutions sous forme d'intervalle
  • Modéliser un problème par une équation ou une inéquation et le résoudre graphiquement ou par le calcul

Au programme du chapitre

  1. Équation, solution, ensemble des solutions
  2. Équations équivalentes : les opérations autorisées
  3. Équations du premier degré
  4. Équation produit nul
  5. Les équations du type x2=ax^2=a
  6. Équation quotient nul et valeurs interdites
  7. Inéquations du premier degré
  8. Résolution graphique
  9. Modéliser un problème

Exercices corrigés

Exercice 1

Léa écrit : « 23−4×2=02^3-4\times 2=0, donc 2 est solution de x3−4x=0x^3-4x=0 et S={2}S=\{2\}. » Qu'en penses-tu ?
Un coup de pouce
Un exemple prouve qu'un nombre est solution ; que faut-il pour être sûr d'avoir TOUTES les solutions ?
Voir la correction pas à pas
La première partie est juste : 2 est bien solution. Mais tester une valeur prouve seulement qu'elle est solution, pas qu'elle est la seule. En factorisant : x3−4x=x(x2−4)=x(x−2)(x+2)x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2). D'après la règle du produit nul, x=0x=0 ou x=2x=2 ou x=−2x=-2. Donc S={−2 ;0 ;2}S=\{-2\,;0\,;2\} : Léa a oublié deux solutions.

Exercice 2

Les équations x=5x=5 et x2=25x^2=25 sont-elles équivalentes ? Justifie.
Un coup de pouce
Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. Cherche un nombre solution de l'une et pas de l'autre.
Voir la correction pas à pas
Non. La première a pour ensemble de solutions {5}\{5\}, la seconde {−5 ;5}\{-5\,;5\}. Le nombre −5 est solution de x2=25x^2=25 mais pas de x=5x=5. Élever les deux membres au carré n'est donc pas une opération qui conserve l'équivalence : elle peut ajouter des solutions.

Les pièges à éviter

  • Diviser par x (ou par une parenthèse contenant x) pour « simplifier ».
  • Écrire « x² = 16 donc x = 4 ».
  • Oublier de changer le sens d'une inéquation après une division par un négatif.
  • Appliquer la règle du produit nul à un produit égal à un nombre non nul : (x − 1)(x + 2) = 4 donc x − 1 = 4…

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