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Seconde · Mathématiques · Chapitre 10

Signe d'une expression et inéquations produit ou quotient

Ce que tu sauras faire

  • Déterminer le signe de ax+bax+b selon le signe de aa et le justifier par le sens de variation de la fonction affine.
  • Dresser le tableau de signes d'un produit de facteurs affines en appliquant la règle des signes.
  • Dresser le tableau de signes d'un quotient en repérant et en excluant la valeur interdite.
  • Résoudre une inéquation en se ramenant à une comparaison à 0 puis en factorisant ou en réduisant au même dénominateur.
  • Résoudre les inéquations de référence x2>kx^2\gt k, x2<kx^2\lt k et 1x<k\frac{1}{x}\lt k.
  • Interpréter graphiquement le signe de f(x)f(x) ou de f(x)−g(x)f(x)-g(x) comme une position de courbes.
  • Repérer et éviter les erreurs classiques : multiplier par une expression de signe inconnu, oublier la valeur interdite.

Au programme du chapitre

  1. Le signe de ax + b
  2. Signe d'un produit : le tableau de signes
  3. Signe d'un quotient : la valeur interdite
  4. Résoudre une inéquation produit ou quotient
  5. Deux inéquations de référence : carré et inverse
  6. Lecture graphique : position d'une courbe
  7. Les erreurs classiques et la méthode complète

Exercices corrigés

Exercice 1

Sans calculer de valeurs, explique pourquoi l'expression −2x+5-2x+5 n'est pas négative pour tout réel xx, alors que son coefficient a=−2a=-2 est négatif.
Un coup de pouce
Cherche la valeur qui annule l'expression, puis pense au sens de variation de la fonction affine.
Voir la correction pas à pas
−2x+5=0  ⟺  x=52-2x+5=0\iff x=\frac{5}{2}. Le signe de a=−2a=-2 n'est celui de l'expression qu'à droite de 52\frac{5}{2} : la fonction x↦−2x+5x\mapsto -2x+5 est décroissante, elle passe de valeurs positives à des valeurs négatives en s'annulant en 52\frac{5}{2}. Ainsi −2x+5>0-2x+5\gt 0 pour x<52x\lt\frac{5}{2} (pour x=0x=0 elle vaut 5) et −2x+5<0-2x+5\lt 0 pour x>52x\gt\frac{5}{2}.

Exercice 2

Dans la résolution de x+4x−1⩾0\frac{x+4}{x-1}\geqslant 0, pourquoi le crochet est-il ouvert en 1 alors que l'inégalité est large ? Et en −4 ?
Un coup de pouce
Que vaut le quotient en x=1x=1 ? et en x=−4x=-4 ?
Voir la correction pas à pas
Pour x=1x=1, le dénominateur vaut 0 : le quotient n'existe pas, donc 1 ne peut pas être solution, quelle que soit l'inégalité. L'inégalité large ajoute seulement les réels où le quotient vaut 0, c'est-à-dire où le numérateur est nul : x=−4x=-4 est donc inclus. On obtient S= ]−∞ ;−4]∪ ]1 ;+∞[S=\,]-\infty\,;-4]\cup\,]1\,;+\infty[.

Les pièges à éviter

  • Diviser les deux membres par x−3x-3, ou multiplier par xx, pour « simplifier ».
  • Oublier la valeur interdite, ou la mettre avec un crochet fermé.
  • Ranger les valeurs d'annulation dans l'ordre où on les a trouvées.
  • Donner à ax+bax+b le signe de aa sur tout R\mathbb{R}.

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