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Seconde · Mathématiques · Chapitre 12

Géométrie repérée : coordonnées, milieu, distance, colinéarité

Ce que tu sauras faire

  • Lire et utiliser les coordonnées d'un point et d'un vecteur dans un repère du plan
  • Calculer les coordonnées d'une somme de vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel
  • Calculer les coordonnées du milieu d'un segment et la distance entre deux points dans un repère orthonormé
  • Démontrer et appliquer le critère de colinéarité par le déterminant
  • Prouver l'alignement de trois points ou le parallélisme de deux droites
  • Déterminer la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère et calculer le quatrième sommet d'un parallélogramme
  • Rédiger une démonstration analytique complète en choisissant un repère adapté

Au programme du chapitre

  1. Repérer un point dans le plan
  2. Coordonnées d'un vecteur
  3. Somme de vecteurs, produit par un réel
  4. Coordonnées du milieu d'un segment
  5. Distance entre deux points dans un repère orthonormé
  6. Déterminant et critère de colinéarité
  7. Alignement de trois points, parallélisme de deux droites
  8. Nature d'un quadrilatère, quatrième sommet
  9. Rédiger une démonstration analytique

Exercices corrigés

Exercice 1

Inès calcule det⁡(AB→,CD→)=0\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0 et conclut : « les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont strictement parallèles ». A-t-elle raison ?
Un coup de pouce
Que se passe-t-il si les quatre points sont sur une même droite ?
Voir la correction pas à pas
Pas forcément. Le déterminant nul prouve que (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, ce qui inclut le cas où elles sont confondues. Contre-exemple : A(0 ;0)A(0\,;0), B(1 ;1)B(1\,;1), C(2 ;2)C(2\,;2), D(3 ;3)D(3\,;3) ; AB→(1 ;1)\overrightarrow{AB}(1\,;1), CD→(1 ;1)\overrightarrow{CD}(1\,;1), déterminant nul, et pourtant les quatre points sont sur la même droite. Pour « strictement », il faut en plus vérifier que CC n'est pas sur (AB)(AB), par exemple det⁡(AB→,AC→)≠0\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\neq0.

Exercice 2

On sait que AB→(2 ;3)\overrightarrow{AB}(2\,;3) et AC→(4 ;6)\overrightarrow{AC}(4\,;6). Que peux-tu dire des points AA, BB, CC ? Et plus précisément du point BB ?
Un coup de pouce
Compare les coordonnées de AC→\overrightarrow{AC} à celles de AB→\overrightarrow{AB}, puis calcule BC→\overrightarrow{BC}.
Voir la correction pas à pas
AC→=2 AB→\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AB} (ou : det⁡=2×6−3×4=0\det=2\times6-3\times4=0), donc les vecteurs sont colinéaires et AA, BB, CC sont alignés. Plus précisément, par Chasles BC→=AC→−AB→=AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB} : on a AB→=BC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}, donc BB est le milieu de [AC][AC].

Les pièges à éviter

  • Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} par « départ − arrivée » : (xA−xB ;yA−yB)(x_A-x_B\,;y_A-y_B).
  • Soustraire pour le milieu, ou oublier de diviser par 2.
  • Utiliser la formule de la distance dans un repère qui n'est pas orthonormé.
  • Écrire AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} pour le parallélogramme ABCDABCD.

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