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Seconde · Mathématiques · Chapitre 16

Probabilités

Ce que tu sauras faire

  • Décrire une expérience aléatoire : univers, issues, événements (élémentaire, certain, impossible)
  • Définir une loi de probabilité sur un univers fini et vérifier que la somme des probabilités vaut 1
  • Calculer la probabilité d'un événement comme somme des probabilités de ses issues, en particulier en situation d'équiprobabilité
  • Utiliser l'événement contraire, la réunion, l'intersection et reconnaître des événements incompatibles
  • Démontrer et appliquer la formule P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
  • Dénombrer ou calculer à l'aide d'un tableau croisé ou d'un arbre (deux épreuves, avec ou sans remise)
  • Relier fréquence observée et probabilité à l'aide d'une simulation

Au programme du chapitre

  1. Expérience aléatoire, univers, issues
  2. Les événements
  3. Loi de probabilité sur un univers fini
  4. Équiprobabilité
  5. Contraire, intersection, réunion
  6. La formule de la réunion
  7. Tableaux croisés d'effectifs
  8. Arbres : expériences à deux épreuves
  9. Fréquence et probabilité

Exercices corrigés

Exercice 1

On lance un dé à six faces. Jules affirme : « “Obtenir 7”, ce n'est pas un événement, puisqu'aucune issue ne le réalise. » A-t-il raison ?
Un coup de pouce
Un événement est un ensemble d'issues. Un ensemble peut-il être vide ?
Voir la correction pas à pas
Non. Un événement est une partie de l'univers Ω={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}, et l'ensemble vide ∅\varnothing est une partie de Ω\Omega. « Obtenir 7 » est donc bien un événement : c'est l'événement impossible, de probabilité 0.

Exercice 2

On lance deux dés et on note la somme. L'univers {2 ;3 ;… ;12}\{2\,;3\,;\dots\,;12\} compte 11 issues. Peut-on dire que P(somme 12)=111P(\text{somme }12)=\dfrac{1}{11} ?
Un coup de pouce
Obtenir 12 et obtenir 7 ont-ils vraiment la même chance ? Compte de combien de façons on peut les obtenir.
Voir la correction pas à pas
Non. La formule « nombre d'issues favorables sur nombre d'issues » n'est valable qu'en équiprobabilité, et les onze sommes ne sont pas équiprobables. En distinguant les deux dés, on obtient 36 couples équiprobables ; un seul, (6 ;6)(6\,;6), donne 12. Donc P(somme 12)=136P(\text{somme }12)=\dfrac{1}{36}, alors que P(somme 7)=636P(\text{somme }7)=\dfrac{6}{36}.

Les pièges à éviter

  • Utiliser « favorables sur possibles » avec des issues qui ne sont pas équiprobables (les onze sommes de deux dés, le nombre de piles…).
  • Écrire P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A\cup B)=P(A)+P(B) alors que AA et BB ont des issues communes.
  • Trouver une probabilité supérieure à 1 ou négative et continuer comme si de rien n'était.
  • Calculer « au moins un » en additionnant des cas, et en oublier.

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