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Seconde · Mathématiques · Chapitre 8

Variations et extremums d'une fonction

Ce que tu sauras faire

  • Définir une fonction croissante, décroissante ou constante sur un intervalle à l'aide de deux réels x₁ < x₂.
  • Démontrer le sens de variation d'une fonction affine et de la fonction carré.
  • Lire un tableau de variations et le construire à partir d'une courbe.
  • Déterminer le maximum et le minimum d'une fonction sur un intervalle.
  • Comparer des images et encadrer f(x) grâce au sens de variation.
  • Résoudre un problème d'optimisation graphiquement ou par balayage.
  • Rédiger une justification qui commence par « d'après le tableau de variations ».

Au programme du chapitre

  1. Croissante, décroissante, constante
  2. Démontrer un sens de variation
  3. Le tableau de variations
  4. Maximum et minimum
  5. Comparer et encadrer des images
  6. Problèmes d'optimisation
  7. Rédiger avec un tableau de variations

Exercices corrigés

Exercice 1

Un balayage de pas 1 sur [0 ;10][0\,;10] donne la plus grande valeur de V(x)=x(20−2x)2V(x)=x(20-2x)^2 pour x=3x=3. Peut-on dire que le maximum de VV est atteint en 3 ?
Un coup de pouce
Qu'est-ce qui garantit qu'aucune valeur entre 3 et 4 ne dépasse V(3)V(3) ?
Voir la correction pas à pas
Non : le balayage n'a testé que les entiers. On sait seulement que V(3)=588V(3)=588 est la plus grande des valeurs calculées. Un zoom de pas 0,1 donne V(3,3)=592,548>588V(3{,}3)=592{,}548\gt 588 : le maximum n'est pas atteint en 3. Un balayage fournit une conjecture et une valeur approchée, que l'on affine en diminuant le pas.

Exercice 2

★ Donne le sens de variation sur R\mathbb{R} de chacune des fonctions, en justifiant.
a) f(x)=−2x+5f(x)=-2x+5   b) g(x)=x−13g(x)=\frac{x-1}{3}   c) h(x)=5(1−x)+5xh(x)=5(1-x)+5x   d) k(x)=(x+1)2−x2k(x)=(x+1)^2-x^2
Un coup de pouce
Développe et réduis d'abord pour reconnaître une fonction affine mx+pmx+p.
Voir la correction pas à pas
a) ff est affine de coefficient −2<0-2\lt 0 : strictement décroissante.
b) g(x)=13x−13g(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3} : coefficient 13>0\frac{1}{3}\gt 0, strictement croissante.
c) h(x)=5−5x+5x=5h(x)=5-5x+5x=5 : hh est constante.
d) k(x)=x2+2x+1−x2=2x+1k(x)=x^2+2x+1-x^2=2x+1 : coefficient 2>02\gt 0, strictement croissante.

Les pièges à éviter

  • Donner l'abscisse comme maximum : « le maximum est 0 » alors que f(0)=7f(0)=7.
  • Écrire « f croissante sur [−3 ; −1] ∪ [2 ; 5] ».
  • Comparer f(a) et f(b) alors que a et b sont sous deux flèches différentes.
  • Affirmer « (−3)² < (−2)² car −3 < −2 ».

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