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Seconde · Mathématiques · Chapitre 11

Vecteurs du plan

Ce que tu sauras faire

  • Définir la translation qui transforme A en B et le vecteur associé AB→\overrightarrow{AB}
  • Reconnaître deux vecteurs égaux et traduire « ABDC est un parallélogramme » par une égalité vectorielle
  • Construire la somme de deux vecteurs et simplifier une expression avec la relation de Chasles
  • Construire et calculer avec le produit d'un vecteur par un réel
  • Caractériser le milieu d'un segment par une égalité vectorielle
  • Construire un point défini par une relation vectorielle
  • Démontrer un alignement ou un parallélisme à l'aide de vecteurs colinéaires, avec une rédaction complète

Au programme du chapitre

  1. Translation et vecteur associé
  2. Direction, sens, norme — vecteurs égaux
  3. Vecteur nul, vecteur opposé
  4. Somme de deux vecteurs et relation de Chasles
  5. Produit d'un vecteur par un réel
  6. Vecteurs colinéaires : alignement et parallélisme
  7. Construire un point défini par une relation vectorielle
  8. Démontrer une propriété géométrique avec les vecteurs

Exercices corrigés

Exercice 1

Deux vecteurs qui ont la même norme sont-ils forcément égaux ? Justifie par un exemple.
Un coup de pouce
Pense à un vecteur et à son opposé.
Voir la correction pas à pas
Non. Pour deux points distincts A et B, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} ont la même norme AB et la même direction, mais des sens contraires : ils ne sont pas égaux (ils sont opposés). Pour que deux vecteurs non nuls soient égaux, il faut à la fois même direction, même sens et même norme.

Exercice 2

La relation de Chasles dit que AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. Peut-on en déduire que AB+BC=ACAB+BC=AC pour les longueurs ?
Un coup de pouce
Teste sur un triangle dont tu connais les côtés.
Voir la correction pas à pas
Non : l'égalité vectorielle est toujours vraie, mais l'égalité des longueurs n'est vraie que si B appartient au segment [AC][AC]. Par exemple, dans un triangle équilatéral de côté 3 cm, AB+BC=6AB+BC=6 cm alors que AC=3AC=3 cm. En général on a seulement AC⩽AB+BCAC\leqslant AB+BC (inégalité triangulaire).

Les pièges à éviter

  • Écrire « AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} donc ABCD est un parallélogramme ».
  • Additionner les longueurs comme les vecteurs : « AB+BC=ACAB+BC=AC ».
  • Enchaîner des vecteurs dont les lettres ne se suivent pas : « AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC} ».
  • Oublier de retourner le vecteur dans une soustraction : « AB→−AC→=BC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC} ».

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