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Seconde · Mathématiques · Chapitre 14

Rappels utiles : projeté orthogonal et trigonométrie

Ce que tu sauras faire

  • Définir et construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite
  • Démontrer que le projeté orthogonal est le point de la droite le plus proche du point
  • Calculer une distance d'un point à une droite, une hauteur et une aire de triangle
  • Choisir entre cosinus, sinus et tangente pour calculer une longueur ou un angle à la calculatrice (mode degrés)
  • Démontrer que cos²α + sin²α = 1 et tan α = sin α / cos α, puis s'en servir
  • Établir géométriquement les valeurs remarquables en 30°, 45° et 60°
  • Rédiger la résolution d'un problème de configuration mêlant Pythagore, Thalès et trigonométrie

Au programme du chapitre

  1. Le projeté orthogonal d'un point sur une droite
  2. Le point le plus proche : distance d'un point à une droite
  3. Hauteurs et aire d'un triangle
  4. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
  5. Calculer une longueur ou un angle à la calculatrice
  6. Deux relations fondamentales
  7. Les valeurs remarquables : 30°, 45°, 60°
  8. Résoudre un problème de configuration

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi le cosinus et le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle sont-ils toujours strictement compris entre 0 et 1 ? La tangente a-t-elle la même contrainte ?
Un coup de pouce
Compare la longueur de l'hypoténuse à celle des deux autres côtés. Qui est au dénominateur dans la tangente ?
Voir la correction pas à pas
Le cosinus et le sinus sont des quotients « un côté de l'angle droit divisé par l'hypoténuse ». Ce sont des quotients de longueurs strictement positives, donc ils sont strictement positifs. De plus, l'hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle (par Pythagore, AC2=AB2+BC2>AB2AC^2=AB^2+BC^2\gt AB^2), donc chaque quotient est strictement inférieur à 1. La tangente, elle, est le quotient des deux côtés de l'angle droit : si le côté opposé est plus long que le côté adjacent, elle dépasse 1 (par exemple tan⁡60∘=3\tan 60^\circ=\sqrt{3}). Elle est seulement strictement positive.

Exercice 2

Le projeté orthogonal d'un point P sur une droite dd est le point P lui-même. Que peux-tu en déduire ? Que vaut alors la distance de P à dd ?
Un coup de pouce
Où se trouve toujours le projeté orthogonal ?
Voir la correction pas à pas
Le projeté orthogonal appartient toujours à la droite dd. S'il est égal à P, c'est que P appartient à dd. Réciproquement, si P est sur dd, la perpendiculaire à dd passant par P coupe dd en P. La distance de P à dd vaut alors PP = 0.

Les pièges à éviter

  • Calculer avec la calculatrice en mode radians : cos(60) affiche environ −0,95.
  • Prendre pour hypoténuse le côté le plus proche de l'angle étudié.
  • Écrire cos 0,4 au lieu de cos⁻¹(0,4) pour trouver un angle.
  • Écrire AC = cos 62° × 4,5 alors que AC est l'hypoténuse.

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