MyHEdison

Seconde · Mathématiques · Chapitre 3

Puissances, racines carrées et calcul numérique

Ce que tu sauras faire

  • Mener un calcul fractionnaire en respectant les priorités opératoires
  • Utiliser les règles de calcul sur les puissances d'exposant entier relatif
  • Écrire un nombre en notation scientifique, calculer avec les puissances de 10 et estimer un ordre de grandeur
  • Définir la racine carrée d'un nombre positif et utiliser ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b et ab=ab\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}
  • Démontrer que a+b⩽a+b\sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a+\sqrt b et produire un contre-exemple à a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b
  • Simplifier une écriture aba\sqrt b et supprimer une racine carrée d'un dénominateur
  • Comparer des nombres (carrés, racines) et distinguer valeur exacte et valeur approchée

Au programme du chapitre

  1. Calcul fractionnaire et priorités opératoires
  2. Puissances d'exposant entier relatif
  3. Puissances de 10, notation scientifique, ordres de grandeur
  4. Racine carrée d'un nombre positif
  5. Comparer xx, x2x^2 et x\sqrt x
  6. Racine d'un produit, d'un quotient… mais pas d'une somme
  7. Simplifier une écriture et supprimer une racine du dénominateur
  8. Comparer des nombres ; valeurs exactes et valeurs approchées

Exercices corrigés

Exercice 1

Un camarade affirme : « la racine carrée d'un nombre positif est toujours plus petite que ce nombre ». A-t-il raison ?
Un coup de pouce
Teste un nombre compris entre 0 et 1, par exemple 0,25 ou 0,01.
Voir la correction pas à pas
Non. C'est vrai pour les nombres supérieurs à 1 (par exemple 9=3<9\sqrt{9}=3\lt 9), mais c'est faux entre 0 et 1 : 0,25=0,5\sqrt{0{,}25}=0{,}5 et 0,5>0,250{,}5\gt 0{,}25. Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une affirmation générale est fausse. Plus précisément : si 0<x<10\lt x\lt 1 alors x>x\sqrt{x}\gt x ; si x>1x\gt 1 alors x<x\sqrt{x}\lt x ; et x=x\sqrt{x}=x seulement pour x=0x=0 et x=1x=1.

Exercice 2

Pourquoi a-t-on choisi de poser a0=1a^0=1 (pour a≠0a\neq0) plutôt que a0=0a^0=0 ?
Un coup de pouce
Écris a3a3\dfrac{a^3}{a^3} de deux façons : en simplifiant, puis avec la règle du quotient de puissances.
Voir la correction pas à pas
On veut que la règle aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} reste vraie pour tous les exposants. Avec m=nm=n, on obtient d'un côté a3a3=1\dfrac{a^3}{a^3}=1 (un nombre non nul divisé par lui-même) et de l'autre a3−3=a0a^{3-3}=a^0. La seule définition cohérente est donc a0=1a^0=1. Avec a0=0a^0=0, la règle an×a0=an+0=ana^n\times a^0=a^{n+0}=a^n donnerait 0=an0=a^n, ce qui est absurde.

Les pièges à éviter

  • Écrire a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b, par exemple 9+16=3+4=7\sqrt{9+16}=3+4=7.
  • Confondre −32-3^2 et (−3)2(-3)^2.
  • Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 2−3=−82^{-3}=-8.
  • Ajouter des puissances comme des produits : 23+24=272^3+2^4=2^7.

Pour aller plus loin

Le même thème dans d’autres classes

Mathématiques dans les autres classes

Réviser autrement