Seconde · Mathématiques · Chapitre 1

Nombres réels, intervalles et valeur absolue

Ce que tu sauras faire

Reconnaître l'ensemble auquel appartient un nombre et utiliser les symboles $\in$ , $\notin$ et $\subset$
Démontrer que $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal et que $\sqrt{2}$ est irrationnel
Traduire une inégalité par un intervalle, et un intervalle par une inégalité, puis le représenter sur la droite numérique
Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles
Interpréter $|x-a|$ comme une distance et traduire $|x-a|\leqslant r$ par un intervalle
Encadrer un réel, en donner la troncature et l'arrondi à $10^{-n}$ près, et juger de la précision d'une valeur approchée

Exercice 1

L'intersection de deux intervalles est-elle toujours un intervalle ? Et leur réunion ?

Un coup de pouce

Dessine deux intervalles éloignés l'un de l'autre sur un axe : que deviennent la zone commune et la zone totale ?

Voir la correction pas à pas

L'intersection est un intervalle, sauf si elle est vide (

[0\,;1]\cap[2\,;3]=\varnothing

) ou réduite à un seul nombre (

[0\,;2]\cap[2\,;3]

ne contient que 2). Les éléments communs forment toujours un seul « morceau ».
La réunion n'est pas toujours un intervalle :

[0\,;1]\cup[2\,;3]

présente un trou entre 1 et 2. C'est un intervalle quand les deux se chevauchent ou se raccordent, par exemple

[0\,;2]\cup\,]2\,;5]=[0\,;5]

Exercice 2

Sans calcul, que signifie l'égalité

|x-5|=|x+1|

 ? Déduis-en la valeur de

x

Un coup de pouce

Transforme

|x+1|

|x-(\ldots)|

et pense « distance ».

Voir la correction pas à pas

|x-5|

est la distance entre

x

et 5 ;

|x+1|=|x-(-1)|

est la distance entre

x

et −1. L'égalité dit que

x

est à égale distance de 5 et de −1 : sur une droite, c'est le milieu,

x=\frac{5+(-1)}{2}=2

. Vérification :

|2-5|=3

|2+1|=3

Classer $\sqrt{9}$ ou $\frac{12}{4}$ parmi les irrationnels ou les fractions, sans calculer.
Dire que $\frac{9}{12}$ n'est pas décimal parce que 12 est un multiple de 3.
Écrire $\frac{1}{3}=0{,}33$ ou $\sqrt{2}=1{,}414$ .
Fermer un crochet sur l'infini : $[2\,;+\infty]$ .