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Seconde · Mathématiques · Chapitre 19

Probabilités conditionnelles

Ce que tu sauras faire

  • Énoncer la loi des grands nombres dans sa version vulgarisée et l'observer sur une simulation.
  • Reconnaître, dans une phrase en français, une probabilité conditionnelle et l'écrire avec la notation PA(B)P_A(B).
  • Calculer une probabilité conditionnelle à partir d'un tableau croisé d'effectifs.
  • Construire un arbre pondéré ou un tableau croisé à partir d'une situation décrite en langage naturel.
  • Interpréter les pondérations portées par les branches et multiplier le long d'un chemin.
  • Distinguer PA(B)P_A(B) et PB(A)P_B(A), notamment dans une situation de dépistage avec des faux positifs.

Au programme du chapitre

  1. Quand nn est grand, la fréquence approche la probabilité
  2. Le mot « parmi » : restreindre la population
  3. La probabilité conditionnelle PA(B)P_A(B)
  4. Calculer PA(B)P_A(B) à partir d'un tableau croisé d'effectifs
  5. Du langage naturel au registre symbolique
  6. L'arbre pondéré : ce que portent vraiment les branches
  7. PA(B)P_A(B) n'est pas PB(A)P_B(A) : les faux positifs

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi la définition de PA(B)P_A(B) exige-t-elle P(A)≠0P(A)\neq 0 ? Donne une raison de calcul et une raison de sens.
Un coup de pouce
Que devient le dénominateur de la formule ? Et que veut dire concrètement « on se place parmi les AA » si AA n'arrive jamais ?
Voir la correction pas à pas
Raison de calcul : la définition est PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}, et on ne divise pas par 0.
Raison de sens : écrire « sachant AA », c'est se placer dans la situation où AA est réalisé, et compter uniquement à l'intérieur de AA. Si P(A)=0P(A)=0, cette situation ne se produit jamais : il n'y a aucune population dans laquelle compter, et la phrase « sachant AA » ne décrit rien.

Exercice 2

Sur un arbre pondéré, pourquoi la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut-elle toujours 1 ?
Un coup de pouce
Que valent, ensemble, « BB se produit » et « BB ne se produit pas », une fois qu'on s'est placé dans le groupe AA ?
Voir la correction pas à pas
Les branches issues d'un même nœud décrivent tous les cas possibles à partir de ce nœud, et ils s'excluent deux à deux. Pour un nœud du second niveau, elles portent PA(B)P_A(B) et PA(B‾)P_A(\overline{B}), or PAP_A se comporte comme une probabilité : PA(B)+PA(B‾)=1P_A(B)+P_A(\overline{B})=1.
C'est le contrôle le plus rapide d'un arbre : si deux branches sorties du même point ne totalisent pas 1, une pondération est fausse ou mal placée.

Les pièges à éviter

  • Diviser par l'effectif total de la population alors que l'énoncé dit « parmi les… », et obtenir P(A∩B)P(A\cap B) au lieu de PA(B)P_A(B).
  • Échanger la condition et l'événement : écrire PT(M)P_T(M) quand l'énoncé donne PM(T)P_M(T).
  • Traduire « 30 % des abonnés prennent la version française » par P(A∩V‾)=0,3P(A\cap\overline{V})=0{,}3.
  • Additionner les pondérations le long d'un chemin de l'arbre, ou multiplier les probabilités de deux chemins différents.

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