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Seconde · Mathématiques · Chapitre 2

Arithmétique : multiples, diviseurs et nombres premiers

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître et justifier qu'un entier relatif est multiple ou diviseur d'un autre, en écrivant a=k×ba=k\times b avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
  • Utiliser les écritures 2k2k et 2k+12k+1 pour démontrer une propriété de parité
  • Démontrer que la somme de deux multiples de aa est un multiple de aa et que le carré d'un nombre impair est impair
  • Appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
  • Déterminer si un entier est premier en testant les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée
  • Décomposer un entier en produit de facteurs premiers et l'utiliser pour rendre une fraction irréductible
  • Lire et exécuter à la main un algorithme (Python) qui teste la primalité d'un entier

Au programme du chapitre

  1. Multiples et diviseurs dans Z\mathbb{Z}
  2. Nombres pairs et impairs
  3. Deux démonstrations au programme
  4. Critères de divisibilité
  5. Les nombres premiers
  6. Décomposition en produit de facteurs premiers
  7. Fractions irréductibles
  8. Un algorithme pour tester la primalité

Exercices corrigés

Exercice 1

Le nombre 0 est-il un multiple de 7 ? Le nombre 7 est-il un multiple de 0 ?
Un coup de pouce
Reviens à la définition : cherche un entier kk tel que a=k×ba=k\times b dans chaque cas.
Voir la correction pas à pas
0=0×70=0\times 7 avec 0∈Z0\in\mathbb{Z}, donc 0 est un multiple de 7 (et même de tout entier). En revanche, pour tout entier kk, k×0=0≠7k\times 0=0\neq 7 : il n'existe aucun entier kk tel que 7=k×07=k\times 0, donc 7 n'est pas un multiple de 0. Le seul multiple de 0 est 0 lui-même.

Exercice 2

Léa affirme : « 1 est un nombre premier, puisqu'il n'est divisible que par 1 et par lui-même. » Qu'en penses-tu ?
Un coup de pouce
Compte les diviseurs positifs de 1, puis relis la définition mot à mot.
Voir la correction pas à pas
Léa se trompe. Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs distincts. Or 1 n'a qu'un seul diviseur positif : 1 et « lui-même » sont le même nombre. Ce choix n'est pas un caprice : si 1 était premier, la décomposition en facteurs premiers ne serait plus unique (6=2×3=1×2×3=1×1×2×3…6=2\times 3=1\times 2\times 3=1\times 1\times 2\times 3\dots).

Les pièges à éviter

  • Écrire deux nombres impairs quelconques sous la forme 2k+12k+1 et 2k+12k+1 avec la même lettre.
  • Croire que 1 est premier « parce qu'il n'est divisible que par 1 et par lui-même ».
  • Conclure qu'une propriété est vraie après l'avoir vérifiée sur quelques exemples.
  • Oublier de justifier que le nombre entre parenthèses est entier : « n2=2(2k2+2k)+1n^2=2(2k^2+2k)+1 donc impair ».

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