MyHEdison

Seconde · Mathématiques · Chapitre 17

Simuler le hasard : fréquences, fluctuation et loi des grands nombres

Ce que tu sauras faire

  • Calculer la fréquence observée d'un succès lors de la répétition d'une expérience aléatoire, et la distinguer de la probabilité.
  • Décrire la fluctuation des fréquences d'une série de répétitions à l'autre, et reconnaître qu'elle est normale.
  • Expliquer l'effet de la taille nn sur la dispersion des fréquences (étendue, écart type).
  • Énoncer la loi des grands nombres et l'utiliser pour estimer une probabilité inconnue par une fréquence.
  • Écrire et lire une fonction (tableur ou Python) qui simule une expérience aléatoire, la répète et renvoie une fréquence.
  • Obtenir une série statistique de fréquences par appels répétés d'une fonction, puis en calculer la moyenne et l'écart type.
  • Porter un regard critique sur une annonce ou un sondage à l'aide d'une simulation.

Au programme du chapitre

  1. Fréquence observée et probabilité
  2. Les fréquences fluctuent
  3. L'effet de la taille nn sur la dispersion
  4. La loi des grands nombres
  5. Simuler une expérience aléatoire
  6. Une série statistique de fréquences
  7. Décider avec esprit critique

Exercices corrigés

Exercice 1

Aya et Noé simulent chacun 50 lancers d'une pièce équilibrée. Aya obtient une fréquence de Pile égale à 0,46 et Noé une fréquence égale à 0,56. Noé en conclut que l'un des deux a forcément fait une erreur. A-t-il raison ?
Un coup de pouce
Deux séries de lancers issues de la même pièce doivent-elles donner la même fréquence ?
Voir la correction pas à pas
Non. Les deux séries ont la même taille et proviennent de la même expérience (p=0,5p=0{,}5), mais la fréquence observée change d'une série à l'autre : c'est la fluctuation. Rien n'est faux dans leurs comptages : 0,46×50=230{,}46\times 50=23 et 0,56×50=280{,}56\times 50=28 sont deux nombres de succès parfaitement possibles. D'ailleurs, obtenir exactement 25 Pile n'aurait rien de plus « correct » que 23 ou 28.

Exercice 2

Une pièce équilibrée vient de tomber neuf fois de suite sur Pile. Sami affirme : « d'après la loi des grands nombres, Face a maintenant plus de chances de sortir, pour rattraper le retard ». Qu'en penses-tu ?
Un coup de pouce
La pièce se souvient-elle des lancers précédents ?
Voir la correction pas à pas
Sami se trompe. Les lancers sont indépendants : les neuf premiers n'ont aucune influence sur le dixième, et la probabilité d'obtenir Face reste 0,50{,}5. La loi des grands nombres ne promet aucun rattrapage : elle dit seulement que, sur un très grand nombre de lancers, la fréquence sera presque toujours proche de 0,50{,}5. Les neuf Pile ne sont pas compensés, ils sont noyés parmi les milliers de lancers suivants.

Les pièges à éviter

  • Confondre pp et ff : écrire « p=0,36p=0{,}36 » alors que 0,36 est la fréquence observée sur un échantillon.
  • Croire qu'une série dont la fréquence diffère de pp est « ratée » ou « truquée ».
  • Penser qu'après une série de Pile, Face devient plus probable.
  • Énoncer la loi des grands nombres sans « sauf exception » : « quand nn est grand, la fréquence est égale à la probabilité ».

Pour aller plus loin

Le même thème dans d’autres classes

Mathématiques dans les autres classes

Réviser autrement