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Troisième · Mathématiques · Chapitre 2

Calcul littéral et équations

Ce que tu sauras faire

  • Développer et réduire avec la simple et la double distributivité
  • Reconnaître et utiliser les trois identités remarquables dans les deux sens
  • Factoriser grâce à un facteur commun ou à une identité remarquable
  • Tester si un nombre est solution d'une équation
  • Résoudre une équation du premier degré et vérifier le résultat
  • Résoudre une équation produit nul et une équation du type x² = a
  • Mettre un problème en équation, le résoudre et répondre par une phrase

Au programme du chapitre

  1. Le calcul littéral : le vocabulaire exact
  2. Développer avec la simple distributivité
  3. Développer avec la double distributivité
  4. Les trois identités remarquables
  5. Factoriser : le chemin inverse
  6. Équations : d'abord tester, ensuite résoudre
  7. L'équation produit nul
  8. Les équations du type x² = a
  9. Mettre un problème en équation

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi peut-on affirmer que l'égalité (x+5)2=x2+25(x+5)^2 = x^2+25 est fausse, alors qu'elle est vraie pour une valeur particulière de xx ?
Un coup de pouce
Essaie plusieurs valeurs, dont x=0x=0 puis x=1x=1, et demande-toi combien de contre-exemples il faut pour démolir une égalité.
Voir la correction pas à pas
Une égalité entre deux expressions littérales doit être vraie pour toutes les valeurs de xx. Ici, pour x=0x=0, les deux membres valent bien 25 : cette valeur ne prouve rien. Mais pour x=1x=1, le membre de gauche vaut (1+5)2=36(1+5)^2 = 36 et le membre de droite vaut 1+25=261+25 = 26. Un seul contre-exemple suffit à prouver que l'égalité est fausse. La forme correcte est (x+5)2=x2+10x+25(x+5)^2 = x^2+10x+25 : c'est le double produit 10x10x qui manquait.

Exercice 2

Un élève écrit : « pour résoudre (x−3)(x+4)=0(x-3)(x+4) = 0, je développe, j'obtiens x2+x−12=0x^2+x-12 = 0, et je ne sais plus faire ». Où est le problème de stratégie ?
Un coup de pouce
Demande-toi quelle forme, développée ou factorisée, permet d'utiliser la règle « un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ».
Voir la correction pas à pas
Il a transformé une forme utile en une forme inutilisable. La forme factorisée (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) est exactement ce qu'il faut : un produit de facteurs égal à zéro. On applique la règle du produit nul : x−3=0x-3 = 0 ou x+4=0x+4 = 0, donc x=3x = 3 ou x=−4x = -4. La règle générale est donc l'inverse de son réflexe : devant une équation avec x2x^2, on cherche à factoriser, jamais à développer.

Les pièges à éviter

  • Écrire −3(x−4)=−3x−12-3(x-4) = -3x-12.
  • Écrire (x+7)2=x2+49(x+7)^2 = x^2+49.
  • Réduire 5x+35x+3 en 8x8x.
  • Oublier un des quatre produits dans une double distributivité.

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