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Seconde · Mathématiques · Chapitre 9

Les fonctions de référence

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître une fonction affine, calculer son taux d'accroissement et lire son ordonnée à l'origine.
  • Démontrer le sens de variation d'une fonction affine selon le signe de a et en déduire le signe de ax + b.
  • Tracer la courbe en V de la fonction valeur absolue, démontrer son signe et ses variations, et utiliser a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.
  • Résoudre ∣x−a∣⩽r|x - a| \leqslant r en lisant l'inégalité comme une distance.
  • Démontrer les variations de la fonction carré et résoudre x2=kx^2 = k, x2<kx^2 \lt k et x2>kx^2 \gt k.
  • Démontrer les variations de la fonction inverse et éviter le piège d'un intervalle contenant 0.
  • Démontrer la position relative des courbes de x↦xx \mapsto x et x↦x2x \mapsto x^2 sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ et comparer deux nombres grâce aux variations.

Au programme du chapitre

  1. Fonctions affines et fonctions linéaires
  2. Sens de variation et signe d'une fonction affine
  3. La fonction valeur absolue
  4. Signe et variations de la fonction valeur absolue
  5. La fonction carré et la résolution de x2=kx^2 = k
  6. La fonction inverse
  7. Racine carrée et cube : des outils pour résoudre
  8. Comparer des nombres grâce aux variations

Exercices corrigés

Exercice 1

Léa affirme : « la fonction inverse est décroissante sur R∗\mathbb{R}^* ». Explique pourquoi elle se trompe, alors que la fonction est décroissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
Un coup de pouce
Cherche deux nombres de signes contraires et compare leurs inverses.
Voir la correction pas à pas
Être décroissante sur R∗\mathbb{R}^* signifierait : pour tous u<vu \lt v non nuls, 1u⩾1v\frac{1}{u} \geqslant \frac{1}{v}. Or −1<1-1 \lt 1 et 1−1=−1<1=11\frac{1}{-1} = -1 \lt 1 = \frac{1}{1} : l'ordre est conservé. Un seul contre-exemple suffit à montrer que l'affirmation est fausse.
Dans la démonstration, on a besoin de uv>0uv \gt 0, ce qui n'est vrai que si uu et vv sont de même signe.

Exercice 2

Noa écrit : « pour tout réel xx, x2=x\sqrt{x^2} = x ». Cette égalité est-elle toujours vraie ? Quelle est la bonne formule ?
Un coup de pouce
Teste l'égalité avec une valeur négative, puis rappelle-toi qu'une racine carrée n'est jamais négative.
Voir la correction pas à pas
Elle est vraie seulement lorsque x⩾0x \geqslant 0. Dès que xx est négatif, elle est fausse : par exemple (−5)2=25=5\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5, alors que x=−5x = -5. Une racine carrée est toujours positive, elle ne peut donc pas être égale à un nombre négatif.
La formule correcte est x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| : on retrouve bien 5 pour x=−5x = -5, et xx lui-même lorsque x⩾0x \geqslant 0.

Les pièges à éviter

  • Écrire « −3<2-3 \lt 2 donc (−3)2<22(-3)^2 \lt 2^2 ».
  • Encadrer x2x^2 sur [−4 ;−1][-4\,;-1] par 16⩽x2⩽116 \leqslant x^2 \leqslant 1.
  • Écrire 4⩽x2⩽94 \leqslant x^2 \leqslant 9 quand on sait que −2⩽x⩽3-2 \leqslant x \leqslant 3.
  • Dire que la fonction inverse est décroissante sur R∗\mathbb{R}^*.

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