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Seconde · Mathématiques · Chapitre 21

Vocabulaire ensembliste et logique

Ce que tu sauras faire

  • Utiliser les symboles ∈\in, ⊂\subset, ∩\cap, ∪\cup, ∅\varnothing et décrire un ensemble entre accolades ou par une condition
  • Déterminer une réunion, une intersection, un complémentaire, et calculer le cardinal d'un ensemble fini
  • Former un couple, un produit cartésien, et compter les couples
  • Écrire la négation d'une proposition simple et utiliser correctement les connecteurs « et » et « ou »
  • Réfuter une proposition par un contre-exemple et reconnaître une quantification « pour tout » ou « il existe »
  • Distinguer une implication, sa réciproque et sa contraposée, et les utiliser dans un raisonnement
  • Rédiger un raisonnement par disjonction de cas et un raisonnement par l'absurde

Au programme du chapitre

  1. Ensembles, éléments, appartenance
  2. Sous-ensembles et inclusion
  3. Réunion, intersection, complémentaire
  4. Couples et produit cartésien
  5. Propositions et variables
  6. Les connecteurs « et », « ou », et la négation
  7. Quantifier : « pour tout », « il existe », et le contre-exemple
  8. Implication, réciproque, contraposée, équivalence
  9. Deux raisonnements à connaître
  10. Bilan

Exercices corrigés

Exercice 1

Quelle différence fais-tu entre les écritures 2∈E2\in E, {2}⊂E\{2\}\subset E et {2}∈E\{2\}\in E ?
Un coup de pouce
Demande-toi, pour chaque écriture, ce qui se trouve à gauche du symbole : un nombre, ou une collection de nombres ?
Voir la correction pas à pas
2∈E2\in E signifie que le nombre 2 est un élément de EE : c'est correct si EE contient 2.
{2}⊂E\{2\}\subset E signifie que l'ensemble {2}\{2\} est une partie de EE : c'est vrai exactement dans le même cas, car son seul élément, 2, appartient à EE.
{2}∈E\{2\}\in E signifierait que l'ensemble {2}\{2\} est lui-même un élément de EE : dans un ensemble de nombres, c'est faux, car les éléments de EE sont des nombres, pas des ensembles.
Retiens : ∈\in relie un élément à un ensemble, ⊂\subset relie deux ensembles.

Exercice 2

Au restaurant, « fromage ou dessert » signifie qu'on choisit l'un des deux, pas les deux. En mathématiques, la proposition « x⩾0x\geqslant 0 ou x⩽0x\leqslant 0 » est-elle vraie pour tout réel xx ?
Un coup de pouce
Teste trois valeurs : un nombre positif, un nombre négatif, puis 0.
Voir la correction pas à pas
Oui, elle est vraie pour tout réel. Le « ou » mathématique est inclusif : « PP ou QQ » est vraie dès que l'une au moins des deux propositions est vraie, y compris si les deux le sont.
Si x>0x\gt 0, la première est vraie ; si x<0x\lt 0, la seconde l'est ; si x=0x=0, les deux le sont. Dans tous les cas, la proposition est vraie.
Le « ou » du restaurant est exclusif ; en mathématiques, quand on veut l'exclusion, on l'écrit : « x⩾0x\geqslant 0 ou x⩽0x\leqslant 0, mais pas les deux ».

Les pièges à éviter

  • Écrire 3⊂N3\subset\mathbb{N} ou {3}∈N\{3\}\in\mathbb{N}.
  • Donner comme négation de « x⩽3x\leqslant 3 » la proposition « x<3x\lt 3 ».
  • Nier « PP et QQ » en « non PP et non QQ ».
  • Répondre « aucun » à la négation de « tous ».

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