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Quatrième · Mathématiques · Chapitre 3

Puissances de 10, notation scientifique et racine carrée

Ce que tu sauras faire

  • Calculer une puissance d’exposant entier positif d’un nombre et écrire un produit de facteurs égaux sous forme de puissance.
  • Utiliser les puissances de 10 d’exposant positif ou négatif et passer de l’écriture décimale à l’écriture fractionnaire et à la puissance de 10.
  • Utiliser les préfixes de nano à giga pour exprimer et convertir des mesures.
  • Écrire un nombre en notation scientifique, comparer des nombres écrits ainsi et en donner un ordre de grandeur.
  • Effectuer un produit ou un quotient simple de nombres en notation scientifique en s’appuyant sur la définition d’une puissance de 10.
  • Reconnaître les carrés parfaits de 1 à 144 et donner la racine carrée d’un carré parfait.
  • Encadrer une racine carrée entre deux entiers consécutifs, en donner une valeur approchée à la calculatrice et s’en servir pour trouver le côté d’un carré.

Au programme du chapitre

  1. Les puissances d’un nombre
  2. Les puissances de 10 d’exposant positif
  3. Les puissances de 10 d’exposant négatif
  4. Les préfixes de nano à giga
  5. La notation scientifique
  6. Calculer, comparer et estimer en notation scientifique
  7. Les carrés parfaits et la racine carrée
  8. Encadrer une racine carrée, en donner une valeur approchée
  9. La racine carrée au service de la géométrie

Exercices corrigés

Exercice 1

Julie écrit 43=124^3 = 12 et Marc écrit 25=102^5 = 10. Explique ce que les deux élèves ont fait et donne les bonnes valeurs.
Un coup de pouce
Écris le produit en entier, avec autant de facteurs que l’exposant l’indique.
Voir la correction pas à pas
Julie et Marc ont multiplié la base par l’exposant : 4×3=124 \times 3 = 12 et 2×5=102 \times 5 = 10. Or l’exposant dit combien de facteurs égaux à la base on écrit. Donc 43=4×4×4=644^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 et 25=2×2×2×2×2=322^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32. Un contrôle simple : 434^3 doit être beaucoup plus grand que 4×34 \times 3, puisqu’on multiplie trois fois de suite par 4.

Exercice 2

Un élève affirme : « 10−310^{-3} est plus grand que 10−210^{-2}, parce que 3 est plus grand que 2. » A-t-il raison ?
Un coup de pouce
Passe à l’écriture décimale de chacune des deux puissances avant de comparer.
Voir la correction pas à pas
Non. Il compare les nombres 3 et 2 au lieu de comparer les puissances. Calculons : 10−2=1100=0,0110^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01 et 10−3=11 000=0,00110^{-3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001. Comme 0,001<0,010{,}001 \lt 0{,}01, on a 10−3<10−210^{-3} \lt 10^{-2}. Diviser par un nombre plus grand (1 0001\,000 au lieu de 100) donne un résultat plus petit : plus l’exposant négatif est grand en valeur absolue, plus la puissance de 10 est petite.

Les pièges à éviter

  • Calculer 434^3 comme 4×3=124 \times 3 = 12.
  • Confondre (−3)2(-3)^2 et −32-3^2.
  • Croire qu’un exposant négatif donne un nombre négatif : 10−3=−1 00010^{-3} = -1\,000.
  • Écrire 10−3=0,000110^{-3} = 0{,}0001 (un zéro de trop) ou 0,010{,}01 (un zéro de moins).

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