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Troisième · Mathématiques · Chapitre 3

Arithmétique

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître qu'un entier est un diviseur (ou un multiple) d'un autre
  • Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
  • Poser une division euclidienne et interpréter son reste
  • Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
  • Calculer un PGCD par la décomposition et par l'algorithme d'Euclide
  • Rendre une fraction irréductible
  • Résoudre un problème de partage ou de conditionnement

Au programme du chapitre

  1. Multiples et diviseurs
  2. Les critères de divisibilité
  3. La division euclidienne
  4. Les nombres premiers
  5. Décomposer en produit de facteurs premiers
  6. Diviseurs communs et PGCD
  7. Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
  8. Problèmes de partage et de conditionnement

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève affirme : « 7 est un multiple de 91 ». Son camarade répond : « Non, c'est l'inverse ». Qui a raison, et comment le dire proprement ?
Un coup de pouce
Écris l'égalité 91=…×…91 = \ldots \times \ldots et regarde lequel des deux nombres est obtenu en multipliant l'autre.
Voir la correction pas à pas

C'est le camarade qui a raison. On a 91=7×1391 = 7 \times 13, avec 13 entier.

La bonne formulation est donc : 7 est un diviseur de 91, ou encore 91 est un multiple de 7.

Retenir le sens : le diviseur est le plus petit, le multiple est le plus grand. Comme 7<917 \lt 91, 7 ne peut pas être un multiple de 91.

Exercice 2

Pourquoi peut-on affirmer qu'un nombre entier n'a qu'un nombre fini de diviseurs, alors qu'il a une infinité de multiples ?
Un coup de pouce
Demande-toi jusqu'où il faut chercher dans chaque cas. Un diviseur peut-il être plus grand que le nombre lui-même ?
Voir la correction pas à pas

Un diviseur de aa (non nul) ne dépasse jamais aa : il est donc à chercher parmi les entiers de 1 à aa, qui sont en nombre fini. On peut tous les tester, la recherche s'arrête.

Au contraire, les multiples de aa sont aa, 2a2a, 3a3a, 4a4a… on peut toujours multiplier par un entier plus grand : la liste ne s'arrête jamais.

Les pièges à éviter

  • Confondre diviseur et multiple : écrire « 90 est un diviseur de 6 ».
  • Oublier 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
  • Croire que 1 est un nombre premier.
  • Penser que 91, 87 ou 51 sont premiers parce qu'ils « font premier ».

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