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Quatrième · Mathématiques · Chapitre 2

Multiples, diviseurs, nombres premiers et simplification de fractions

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître et utiliser les mots multiple, diviseur et divisible, et écrire une division euclidienne.
  • Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
  • Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à 100 et reconnaître un nombre premier.
  • Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers.
  • Reconnaître et produire des fractions égales, puis simplifier une fraction.
  • Résoudre un problème de partage en lots identiques ou de rencontres régulières.

Au programme du chapitre

  1. Multiples et diviseurs
  2. Les critères de divisibilité
  3. Les nombres premiers
  4. Décomposer en produit de facteurs premiers
  5. Fractions égales : en reconnaître, en produire
  6. Simplifier une fraction
  7. Résoudre des problèmes de divisibilité

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi 2 est-il le seul nombre premier pair ? Que se passe-t-il avec 4, 6 ou 10 ?
Un coup de pouce
Pense à tout ce qui est forcément un diviseur d'un nombre pair, à part 1 et le nombre lui-même.
Voir la correction pas à pas
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Tout nombre pair est divisible par 2. Si ce nombre pair est différent de 2, il a donc au moins trois diviseurs : 1, 2 et lui-même. Par exemple, 4 a pour diviseurs 1, 2 et 4 ; 6 en a quatre (1, 2, 3, 6) ; 10 aussi (1, 2, 5, 10). Aucun n'est premier. Seul 2 échappe à la règle, car pour lui le diviseur « 2 » et le diviseur « lui-même » sont le même nombre : il n'a que 1 et 2.

Exercice 2

Léa affirme : « Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24. » Trouve un nombre qui prouve qu'elle a tort.
Un coup de pouce
Cherche un petit nombre qui soit dans la table de 4 et dans la table de 6.
Voir la correction pas à pas
Il suffit d'un seul contre-exemple. Prenons 12 : 12=4×312 = 4 \times 3 donc 4 divise 12, et 12=6×212 = 6 \times 2 donc 6 divise 12. Pourtant 12 n'est pas divisible par 24, puisqu'un diviseur ne peut pas dépasser le nombre (ou : 12=24×0+1212 = 24 \times 0 + 12, le reste n'est pas nul). La règle de Léa est donc fausse. On ne peut pas « multiplier deux diviseurs » pour en obtenir un autre : cela marche seulement si les deux nombres n'ont aucun facteur premier en commun, comme 2 et 3 pour obtenir 6.

Les pièges à éviter

  • Retourner la phrase : dire « 42 divise 6 » ou « 6 est un multiple de 42 ».
  • Appliquer le critère de 3 ou de 9 au dernier chiffre au lieu de la somme des chiffres.
  • Croire que 1 est premier, ou que tous les nombres impairs sont premiers (9, 15, 21, 51, 91…).
  • Dire que 2 n'est pas premier parce qu'il est pair, ou citer d'autres nombres premiers pairs.

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