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Première · Mathématiques · Chapitre 13

Logique, ensembles et raisonnement

Ce que tu sauras faire

  • Utiliser le vocabulaire et les symboles des ensembles : appartenance, inclusion, intersection, réunion, complémentaire
  • Situer un nombre dans N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R} et justifier son appartenance
  • Passer d'un intervalle à une inégalité, à une phrase et à une condition écrite avec une valeur absolue
  • Distinguer une implication de sa réciproque, écrire sa contraposée et reconnaître une équivalence
  • Employer les quantificateurs « pour tout » et « il existe » et écrire la négation d'une proposition quantifiée
  • Réfuter une proposition fausse par un contre-exemple bien choisi
  • Conduire et rédiger un raisonnement par disjonction de cas, par contraposée ou par l'absurde

Au programme du chapitre

  1. Le langage des ensembles
  2. Les ensembles de nombres
  3. Intersection, réunion, complémentaire
  4. Décrire un ensemble par une propriété
  5. Propositions et quantificateurs
  6. Nier une proposition
  7. Implication, réciproque, contraposée
  8. Le contre-exemple
  9. Trois façons de démontrer

Exercices corrigés

Exercice 1

Explique pourquoi les écritures 2∈N2\in\mathbb{N} et {2}⊂N\{2\}\subset\mathbb{N} sont correctes, alors que {2}∈N\{2\}\in\mathbb{N} et 2⊂N2\subset\mathbb{N} ne le sont pas.
Un coup de pouce
Pose-toi à chaque fois la question : l'objet écrit à gauche est-il un nombre isolé, ou une boîte contenant des nombres ?
Voir la correction pas à pas
Les deux symboles ne relient pas les mêmes objets. Le symbole ∈\in relie un élément à un ensemble : comme 2 est un nombre et N\mathbb{N} un ensemble de nombres, 2∈N2\in\mathbb{N} a un sens et est vrai. Le symbole ⊂\subset relie deux ensembles : {2}\{2\} est l'ensemble dont l'unique élément est 2, et tous ses éléments sont bien des entiers naturels, donc {2}⊂N\{2\}\subset\mathbb{N} est vrai.
En revanche {2}∈N\{2\}\in\mathbb{N} affirmerait que l'ensemble {2}\{2\} est lui-même un entier naturel, ce qui est faux : les éléments de N\mathbb{N} sont des nombres, pas des ensembles. Et 2⊂N2\subset\mathbb{N} traiterait le nombre 2 comme une collection, ce qu'il n'est pas. Ces deux dernières écritures sont donc des fautes de langage, pas seulement des affirmations fausses.

Exercice 2

Une implication et sa réciproque peuvent-elles être toutes les deux vraies ? Toutes les deux fausses ? Illustre chacune de tes réponses.
Un coup de pouce
Cherche d'abord un cas d'équivalence évidente, puis une implication si grossièrement fausse que son retournement l'est aussi.
Voir la correction pas à pas
Oui dans les deux cas, et c'est précisément pour cela qu'on ne peut rien déduire de l'une sur l'autre.
Toutes deux vraies : prenons, pour un réel xx, « x−3=0⟹x=3x-3=0\Longrightarrow x=3 ». Sa réciproque « x=3⟹x−3=0x=3\Longrightarrow x-3=0 » est vraie également. On a alors une équivalence, et on écrit x−3=0  ⟺  x=3x-3=0\iff x=3.
Toutes deux fausses : prenons « x>0⟹x>10x\gt 0\Longrightarrow x\gt 10 », fausse pour x=1x=1 ; sa réciproque « x>10⟹x>0x\gt 10\Longrightarrow x\gt 0 » est, elle, vraie. Pour en avoir deux fausses, prenons « x2=1⟹x=2x^{2}=1\Longrightarrow x=2 », fausse pour x=1x=1, dont la réciproque « x=2⟹x2=1x=2\Longrightarrow x^{2}=1 » est fausse aussi puisque 22=42^{2}=4.
Conclusion : connaître la valeur de vérité d'une implication n'apprend rien sur celle de sa réciproque. Seule la contraposée est solidaire de l'implication.

Les pièges à éviter

  • Écrire 2⊂N2\subset\mathbb{N} ou {2}∈N\{2\}\in\mathbb{N}.
  • Croire que 9\sqrt{9} est irrationnel, ou que 124\dfrac{12}{4} n'est pas entier.
  • Comprendre le « ou » mathématique comme exclusif.
  • Écrire que la négation de x>3x\gt 3 est x<3x\lt 3.

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