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Première · Mathématiques · Chapitre 8

Le produit scalaire dans le plan

Ce que tu sauras faire

  • Calculer un produit scalaire de quatre façons : avec le cosinus, avec le projeté orthogonal, avec les coordonnées, avec les normes
  • Utiliser la symétrie et la bilinéarité pour développer une expression vectorielle
  • Développer ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} et utiliser les identités de polarisation
  • Caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs, en particulier par xx′+yy′=0xx'+yy'=0
  • Démontrer et appliquer le théorème d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle
  • Utiliser la formule des sinus et l'aire A=12bcsin⁡A^\mathcal{A}=\frac{1}{2}bc\sin\widehat{A} dans un triangle quelconque
  • Choisir l'outil adapté (Al-Kashi ou formule des sinus) selon les données d'un triangle

Au programme du chapitre

  1. Le produit scalaire défini par le cosinus
  2. Produit scalaire et projeté orthogonal
  3. Symétrie, bilinéarité, carré scalaire
  4. Dans un repère orthonormé
  5. Les identités de polarisation
  6. Orthogonalité
  7. Le théorème d'Al-Kashi
  8. Formule des sinus, aire et calculs dans le triangle

Exercices corrigés

Exercice 1

Le produit scalaire de deux vecteurs est-il un vecteur ou un nombre ? Que peux-tu déduire du seul signe de ce résultat ?
Un coup de pouce
Regarde la définition : deux normes, toujours positives, multipliées par un cosinus. Qui décide du signe ?
Voir la correction pas à pas
C'est un nombre réel : le mot « scalaire » signifie précisément « nombre ». Écrire u⃗⋅v⃗=w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{w} n'a donc aucun sens. Son signe renseigne immédiatement sur l'angle θ\theta formé par les deux vecteurs non nuls, puisque u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta et que les deux normes sont strictement positives : le signe est celui de cos⁡θ\cos\theta. Si le produit scalaire est positif, l'angle est aigu ; s'il est nul, l'angle est droit ; s'il est négatif, l'angle est obtus. Un seul calcul remplace donc une mesure au rapporteur.

Exercice 2

Deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul. Peut-on en conclure que l'un des deux est le vecteur nul, comme avec la règle du produit nul en algèbre ?
Un coup de pouce
Cherche deux vecteurs perpendiculaires simples, par exemple un horizontal et un vertical, puis calcule.
Voir la correction pas à pas
Non, et c'est une différence essentielle avec le produit de deux nombres. Un contre-exemple suffit : u⃗(1−2)\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} et v⃗(63)\vec{v}\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix} donnent u⃗⋅v⃗=1×6+(−2)×3=6−6=0\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 6+(-2)\times 3=6-6=0, alors qu'aucun des deux vecteurs n'est nul. La bonne conclusion est : les deux vecteurs sont orthogonaux. Le produit scalaire mesure en quelque sorte « ce que les deux vecteurs ont en commun comme direction » : quand ils sont perpendiculaires, ils n'ont rien en commun, et le résultat s'annule.

Les pièges à éviter

  • Écrire le résultat d'un produit scalaire avec une flèche, comme s'il s'agissait d'un vecteur.
  • Utiliser la formule u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy' dans un repère qui n'est pas orthonormé.
  • Conclure d'un produit scalaire nul que l'un des deux vecteurs est nul.
  • Se tromper de signe dans Al-Kashi quand l'angle est obtus.

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