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Première · Mathématiques · Chapitre 5

Fonction dérivée, variations et extremums

Ce que tu sauras faire

  • Dire ce qu'est la fonction dérivée d'une fonction et sur quel ensemble elle est définie
  • Dériver les fonctions de référence : xnx^n, x\sqrt{x}, 1x\dfrac{1}{x}
  • Appliquer les formules d'opérations : somme, k uk\,u, produit, inverse, quotient
  • Étudier le signe de f′(x)f'(x) et en déduire rigoureusement le sens de variation de ff
  • Dresser un tableau de variations complet et y lire les extremums
  • Reconnaître un extremum local et discuter la condition f′(a)=0f'(a)=0
  • Résoudre un problème d'optimisation en modélisant puis en dérivant

Au programme du chapitre

  1. De la tangente à la fonction dérivée
  2. Les dérivées des fonctions de référence
  3. Les opérations sur les dérivées
  4. Le théorème : signe de la dérivée et sens de variation
  5. Dresser un tableau de variations complet
  6. Extremums locaux
  7. Résoudre un problème d'optimisation
  8. La rédaction attendue en devoir

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève écrit : « f′f' est croissante sur [0 ;5][0\,;5], donc ff est croissante sur [0 ;5][0\,;5]. » Que penses-tu de cette phrase ?
Un coup de pouce
Une dérivée peut très bien monter tout en restant négative.
Voir la correction pas à pas
Elle mélange deux choses. Ce qui commande les variations de ff, c'est le signe de f′f', pas le sens de variation de f′f'. Contre-exemple : sur [0 ;5][0\,;5], prenons f(x)=x22−5xf(x)=\dfrac{x^2}{2}-5x. Alors f′(x)=x−5f'(x)=x-5, qui est bien croissante sur [0 ;5][0\,;5] ; pourtant f′(x)⩽0f'(x)\leqslant 0 sur cet intervalle, donc ff y est décroissante. La bonne phrase est : « f′(x)>0f'(x)\gt 0 sur II, donc ff est strictement croissante sur II. »

Exercice 2

La fonction inverse f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} a pour dérivée f′(x)=−1x2f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}, strictement négative partout où elle existe. Peut-on écrire « ff est décroissante sur R∗\mathbb{R}^* » ?
Un coup de pouce
Teste la définition de « décroissante » avec les deux nombres −1 et 1.
Voir la correction pas à pas
Non. Le théorème liant le signe de f′f' aux variations ne s'applique que sur un intervalle, et R∗\mathbb{R}^* n'en est pas un (c'est une réunion de deux intervalles). Contre-exemple : −1<1-1\lt 1 alors que f(−1)=−1f(-1)=-1 et f(1)=1f(1)=1, donc f(−1)<f(1)f(-1)\lt f(1) : l'ordre n'est pas renversé. La rédaction correcte est : « ff est strictement décroissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. »

Les pièges à éviter

  • Écrire (uv)′=u′v′(uv)'=u'v' pour dériver un produit.
  • Inverser le numérateur du quotient : écrire uv′−u′vv2\dfrac{uv'-u'v}{v^2}.
  • Conclure à un extremum dès que f′(a)=0f'(a)=0.
  • Annoncer « décroissante sur R∗\mathbb{R}^* » ou « sur ]−∞ ;0[∪ ]0 ;+∞[]-\infty\,;0[\cup\,]0\,;+\infty[ ».

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