MyHEdison

Première · Mathématiques · Chapitre 3

Inéquations, optimisation et problèmes du second degré

Ce que tu sauras faire

  • Déterminer le signe d'un trinôme à partir du discriminant et du signe de aa
  • Dresser un tableau de signes et résoudre une inéquation du second degré
  • Résoudre une inéquation quotient faisant intervenir un trinôme, valeurs interdites comprises
  • Comparer deux courbes en étudiant le signe de la différence f(x)−g(x)f(x)-g(x)
  • Résoudre un problème d'optimisation en passant par la forme canonique
  • Résoudre une équation qui se ramène au second degré par changement de variable
  • Utiliser la somme et le produit des racines, et factoriser un polynôme de degré 3 à racine évidente

Au programme du chapitre

  1. Ce que tu ramènes du chapitre 2
  2. Le signe du trinôme
  3. Résoudre une inéquation du second degré
  4. Produits, quotients et valeurs interdites
  5. Comparer deux courbes
  6. Optimiser avec la forme canonique
  7. Des équations qui se ramènent au second degré
  8. Deux prolongements utiles

Exercices corrigés

Exercice 1

Un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a<0a\lt 0 peut-il être positif pour tout réel xx ? Justifie.
Un coup de pouce
Que devient le signe d'un trinôme « loin » des racines ? Repense au signe de aa.
Voir la correction pas à pas
Non. Si a<0a\lt 0, la parabole est « tournée vers le bas » : quand xx devient très grand, le terme ax2ax^2 l'emporte et f(x)f(x) devient négatif. On peut le dire avec le cours : si Δ<0\Delta\lt 0, le trinôme est du signe de aa, donc négatif partout ; si Δ⩾0\Delta\geqslant 0, il est négatif à l'extérieur des racines. Dans tous les cas, il prend des valeurs négatives : il ne peut pas être positif partout.

Exercice 2

Pour résoudre x2>5xx^2\gt 5x, un élève divise les deux membres par xx et écrit S=]5 ;+∞[S=]5\,;+\infty[. Explique pourquoi c'est faux, sans résoudre l'inéquation.
Un coup de pouce
Que se passe-t-il quand on divise une inégalité par un nombre négatif ?
Voir la correction pas à pas
Diviser par xx suppose deux choses fausses ici : d'abord que x≠0x\neq 0, ensuite qu'on connaît le signe de xx — or si x<0x\lt 0, la division par xx inverse le sens de l'inégalité. L'élève a donc traité tous les xx comme s'ils étaient positifs et a perdu toute la partie négative de l'ensemble des solutions. Le réflexe correct est de tout ramener à gauche : x2−5x>0x^2-5x\gt 0, puis d'étudier le signe du produit x(x−5)x(x-5).

Les pièges à éviter

  • Conclure « f(x)>0f(x)\gt 0 entre les racines » sans regarder le signe de aa.
  • Diviser les deux membres d'une inéquation par xx, ou par (x−3)(x-3), sans connaître le signe de cette quantité.
  • Oublier de retourner l'inégalité en divisant (ou en multipliant) par un nombre négatif.
  • Inclure une valeur interdite dans l'ensemble des solutions parce que l'inégalité est large.

Pour aller plus loin

Le même thème dans d’autres classes

Mathématiques dans les autres classes

Réviser autrement