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Terminale · Mathématiques · Chapitre 11

Produit scalaire dans l'espace

Ce que tu sauras faire

  • Calculer un produit scalaire de l'espace par les trois expressions : analytique, par les normes et le cosinus, par la formule de polarisation.
  • Calculer une norme, une distance entre deux points, et l'angle formé par deux vecteurs.
  • Démontrer que deux vecteurs, deux droites, ou une droite et un plan sont orthogonaux.
  • Déterminer un vecteur normal à un plan, et passer d'un vecteur normal à une équation cartésienne.
  • Démontrer que l'ensemble des points vérifiant une équation du premier degré est un plan.
  • Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan, et démontrer qu'il réalise la distance minimale.
  • Calculer la distance d'un point à un plan et à une droite, et l'utiliser dans un problème de géométrie.

Au programme du chapitre

  1. Le produit scalaire se transporte dans l'espace
  2. L'expression analytique, dans un repère orthonormé
  3. Orthogonalité : vecteurs, droites, et le piège du vocabulaire
  4. Orthogonalité d'une droite et d'un plan
  5. Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan
  6. Lire les positions relatives sur les vecteurs normaux
  7. Projeté orthogonal et distance minimale
  8. Trois usages du produit scalaire dans un problème de bac

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi peut-on définir le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace exactement comme dans le plan, sans rien ajouter ?
Un coup de pouce
Combien faut-il de points pour qu'un plan les contienne toujours, quels qu'ils soient ?
Voir la correction pas à pas
Parce que deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires.
Représentons-les à partir d'un même point AA : AB→=u⃗\overrightarrow{AB}=\vec{u} et AC→=v⃗\overrightarrow{AC}=\vec{v}. Les trois points AA, BB, CC appartiennent toujours à un même plan — c'est vrai de trois points quelconques. On peut donc se placer dans ce plan, où toute la théorie de première s'applique mot pour mot : définition par le cosinus, bilinéarité, expression analytique, caractérisation de l'orthogonalité.
La nouveauté du chapitre n'est donc pas le produit scalaire lui-même, mais ce qu'il permet de faire de l'espace : définir un vecteur normal à un plan, écrire une équation cartésienne, calculer la distance d'un point à un plan. Ces trois objets n'ont aucun équivalent dans le plan.
À l'inverse : avec trois vecteurs, la question de la coplanarité se pose réellement — c'est tout le chapitre précédent.

Exercice 2

Deux droites de l'espace sont orthogonales. Peut-on affirmer qu'elles sont perpendiculaires ?
Un coup de pouce
Pense à une salle de classe. Trouves-tu deux arêtes de directions orthogonales qui ne se touchent jamais ?
Voir la correction pas à pas
Non. Dans le plan, les deux mots sont synonymes ; dans l'espace, ils ne le sont plus.
• Orthogonales : leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. C'est une condition sur les directions seulement.
• Perpendiculaires : orthogonales et sécantes. Il faut en plus un point commun.
Un exemple tient dans la pièce où tu te trouves : l'arête verticale d'un angle de mur et une arête horizontale du mur opposé ont des directions orthogonales, et pourtant ces deux droites ne se rencontrent jamais — elles sont non coplanaires. Elles sont orthogonales, pas perpendiculaires.
Conséquence de rédaction : si un énoncé demande de montrer que deux droites sont perpendiculaires, un produit scalaire nul ne suffit pas. Il faut aussi exhiber leur point d'intersection, en résolvant le système des deux représentations paramétriques.

Les pièges à éviter

  • Appliquer xx′+yy′+zz′xx'+yy'+zz' dans un repère qui n'est pas orthonormé.
  • Écrire « perpendiculaires » après avoir seulement trouvé un produit scalaire nul.
  • Confondre les critères pour une droite et un plan.
  • Croire qu'un vecteur normal est unique, et s'inquiéter d'un système indéterminé.

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