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Première · Mathématiques · Chapitre 10

Probabilités conditionnelles et indépendance

Ce que tu sauras faire

  • Calculer une probabilité conditionnelle PA(B)P_A(B) à partir de la définition ou d'un tableau croisé
  • Construire un arbre pondéré et appliquer ses trois règles de lecture
  • Reconnaître une partition de l'univers et appliquer la formule des probabilités totales
  • Savoir « renverser » un arbre en revenant à la définition, et distinguer PA(B)P_A(B) de PB(A)P_B(A)
  • Démontrer que deux événements sont indépendants, ou prouver qu'ils ne le sont pas
  • Calculer une probabilité dans une succession d'épreuves indépendantes
  • Interpréter un test de dépistage et expliquer pourquoi un test très fiable produit beaucoup de faux positifs

Au programme du chapitre

  1. Rappel de seconde : lire un tableau croisé
  2. La probabilité conditionnelle
  3. L'arbre pondéré et ses trois règles
  4. Partition de l'univers et formule des probabilités totales
  5. Renverser l'arbre : PA(B)P_A(B) n'est pas PB(A)P_B(A)
  6. Indépendance de deux événements
  7. Succession d'épreuves indépendantes
  8. Quel outil pour quelle question ?

Exercices corrigés

Exercice 1

Quelle est la différence entre P(A∩B)P(A\cap B) et PA(B)P_A(B) ? Illustre ta réponse avec une classe de 30 élèves dont 12 sont demi-pensionnaires, parmi lesquels 9 pratiquent la musique.
Un coup de pouce
Demande-toi à chaque fois : « je divise par le total, ou seulement par une partie du total ? »
Voir la correction pas à pas
P(A∩B)P(A\cap B) est calculée sur la population entière : c'est la proportion d'élèves qui sont à la fois demi-pensionnaires et musiciens, soit 930=0,3\dfrac{9}{30}=0{,}3. PA(B)P_A(B) est calculée sur la population restreinte aux demi-pensionnaires : c'est 912=0,75\dfrac{9}{12}=0{,}75. Le numérateur est le même (les 9 élèves de l'intersection), seul le dénominateur change : effectif total dans un cas, effectif de AA dans l'autre. On passe de l'un à l'autre par PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} : ici 0,30,4=0,75\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75.

Exercice 2

Un laboratoire annonce : « notre test détecte 99 % des personnes malades ». Un élève en conclut : « si mon test est positif, j'ai 99 % de risque d'être malade ». Où est la faute de raisonnement ?
Un coup de pouce
Écris les deux probabilités avec la notation à indice, et demande-toi pour chacune : « parmi qui ? »
Voir la correction pas à pas
L'annonce du laboratoire porte sur PM(T)P_M(T) : parmi les malades, 99 % ont un test positif. L'élève parle de PT(M)P_T(M) : parmi les positifs, quelle proportion est malade ? Ce sont deux populations de référence différentes, donc deux nombres différents. Pour calculer PT(M)P_T(M), il faut trois informations et pas une seule : la proportion de malades dans la population, la proportion de tests positifs chez les malades, et la proportion de tests positifs chez les personnes saines. Si la maladie est rare, les personnes saines sont si nombreuses que leurs faux positifs peuvent dépasser en nombre les vrais positifs, et PT(M)P_T(M) devient bien inférieure à 0,990{,}99.

Les pièges à éviter

  • Confondre P(A∩B)P(A\cap B) et PA(B)P_A(B).
  • Écrire PA(B)=PB(A)P_A(B)=P_B(A).
  • Additionner les probabilités le long d'un chemin de l'arbre.
  • Croire que le nombre porté par une branche du deuxième niveau est P(B)P(B).

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