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Première · Mathématiques · Chapitre 9

Géométrie repérée : droites et cercles

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître un vecteur normal et un vecteur directeur d'une droite à partir de son équation cartésienne
  • Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur normal, et démontrer que deux droites sont perpendiculaires
  • Calculer la distance d'un point à une droite et l'utiliser (aire d'un triangle, marge de sécurité, tangence)
  • Passer de la forme (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 à la forme développée d'un cercle, et revenir au centre et au rayon par complétion du carré
  • Déterminer la position relative d'une droite et d'un cercle, et calculer les points d'intersection éventuels
  • Caractériser le cercle de diamètre [AB][AB] par MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 et déterminer des ensembles de points
  • Choisir entre l'outil vectoriel, le produit scalaire et le calcul d'équations pour résoudre un problème de géométrie

Au programme du chapitre

  1. Le décor : un repère orthonormé
  2. Vecteur normal à une droite
  3. Déterminer une équation cartésienne avec un vecteur normal
  4. Distance d'un point à une droite
  5. Équation cartésienne d'un cercle
  6. Forme développée et retour au centre-rayon
  7. Position relative d'une droite et d'un cercle
  8. Ensembles de points : le cercle de diamètre [AB]

Exercices corrigés

Exercice 1

Une droite possède une infinité de vecteurs normaux, et son équation cartésienne n'est pas unique non plus. Comment ces deux faits sont-ils liés ?
Un coup de pouce
Que devient l'ensemble des solutions d'une équation si tu multiplies les deux membres par 2 ?
Voir la correction pas à pas
Si n⃗\vec{n} est normal à dd, alors tout vecteur kn⃗k\vec{n} avec k≠0k\neq 0 l'est aussi : il a la même direction, donc il reste orthogonal aux vecteurs directeurs de dd. Or les coefficients de l'équation ax+by+c=0ax+by+c=0 sont précisément les coordonnées d'un vecteur normal. Multiplier l'équation entière par k≠0k\neq 0 donne kax+kby+kc=0kax+kby+kc=0, qui a exactement les mêmes solutions, donc décrit la même droite, et dont le vecteur normal est kn⃗k\vec{n}. Les deux « infinités » sont donc la même : changer de vecteur normal, c'est changer d'équation pour la même droite. Par exemple 3x+4y−12=03x+4y-12=0 et 6x+8y−24=06x+8y-24=0 décrivent la même droite.

Exercice 2

L'équation x2+y2−2x+4y+k=0x^2+y^2-2x+4y+k=0 représente-t-elle toujours un cercle ? Explique de quoi cela dépend.
Un coup de pouce
Complète les carrés sans remplacer kk, puis regarde le signe du membre de droite.
Voir la correction pas à pas
Non. En complétant les carrés : x2−2x=(x−1)2−1x^2-2x=(x-1)^2-1 et y2+4y=(y+2)2−4y^2+4y=(y+2)^2-4, donc l'équation s'écrit (x−1)2+(y+2)2=5−k(x-1)^2+(y+2)^2=5-k. Le membre de gauche est une somme de deux carrés, donc positive ou nulle. Trois cas se présentent :
• si k<5k\lt 5, c'est le cercle de centre (1 ;−2)(1\,;-2) et de rayon 5−k\sqrt{5-k} ;
• si k=5k=5, l'ensemble se réduit au seul point (1 ;−2)(1\,;-2) ;
• si k>5k\gt 5, aucun point ne convient : l'ensemble est vide.
La forme de l'équation (x2x^2 et y2y^2 de même coefficient, pas de terme en xyxy) est donc nécessaire mais pas suffisante.

Les pièges à éviter

  • Prendre (ab)\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} pour un vecteur directeur de la droite ax+by+c=0ax+by+c=0.
  • Appliquer la formule de distance à une équation du type y=2x−3y=2x-3.
  • Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance.
  • Écrire a2+b2\sqrt{a^2+b^2} au numérateur, ou a2+b2a^2+b^2 au dénominateur.

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