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Terminale · Mathématiques · Chapitre 6

Fonctions trigonométriques

Ce que tu sauras faire

  • Passer des degrés aux radians, placer un réel sur le cercle trigonométrique et déterminer une mesure principale
  • Utiliser cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1 et les angles associés pour retrouver une valeur exacte
  • Exploiter la périodicité et la parité des fonctions cosinus et sinus pour réduire l'intervalle d'étude
  • Retenir que lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 et l'utiliser pour lever une indétermination
  • Dériver cos⁡\cos, sin⁡\sin, puis cos⁡(ax+b)\cos(ax+b) et sin⁡(ax+b)\sin(ax+b), et dresser un tableau de variations sur une période
  • Résoudre cos⁡x=a\cos x=a et sin⁡x=a\sin x=a sur un intervalle donné, et compter les solutions
  • Modéliser un phénomène périodique (marée, oscillation, température) et interpréter amplitude, période et extremums

Au programme du chapitre

  1. Le cercle trigonométrique et le radian
  2. Cosinus et sinus d'un nombre réel
  3. Les angles associés : lire le cercle dans tous les sens
  4. Les fonctions cosinus et sinus
  5. Deux limites fondamentales en 0
  6. Dérivées de cosinus, de sinus, et de cos⁡(ax+b)\cos(ax+b)
  7. Résoudre cos⁡x=a\cos x = a et sin⁡x=a\sin x = a
  8. Étudier une fonction trigonométrique sur une période
  9. Modéliser un phénomène périodique

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi mesure-t-on les angles en radians dans ce chapitre, et pas en degrés ? Donne la raison mathématique, pas la raison historique.
Un coup de pouce
Demande-toi d'où vient la formule sin⁡′=cos⁡\sin'=\cos, et de quelle limite elle dépend.
Voir la correction pas à pas
Parce que toutes les formules de dérivation du chapitre ne sont vraies qu'en radians. Le point de départ est la limite lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 : c'est elle qui donne sin⁡′(x)=cos⁡x\sin'(x)=\cos x. Or cette limite n'est égale à 1 que si xx est une longueur d'arc sur le cercle de rayon 1, c'est-à-dire un radian.
Si l'on mesurait en degrés, on aurait lim⁡x→0sin⁡xx=π180≈0,0175\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}0175, et la dérivée du sinus deviendrait π180cos⁡x\dfrac{\pi}{180}\cos x : ce facteur parasite se propagerait dans tout le calcul différentiel. Le radian est donc l'unité qui rend la dérivation propre.

Exercice 2

L'équation cos⁡x=32\cos x=\dfrac{3}{2} admet-elle des solutions ? Et l'équation sin⁡x=−1\sin x=-1 ? Combien, sur ]−π ;π]]-\pi\,;\pi] ?
Un coup de pouce
Un cosinus et un sinus sont les coordonnées d'un point du cercle de rayon 1 : que peut-on en déduire sur leurs valeurs possibles ?
Voir la correction pas à pas
cos⁡x=32\cos x=\dfrac{3}{2} : aucune solution. Le point associé à xx est sur le cercle de rayon 1, donc son abscisse vérifie −1⩽cos⁡x⩽1-1 \leqslant \cos x \leqslant 1. Comme 32>1\dfrac{3}{2}\gt 1, aucun point du cercle n'a cette abscisse. On peut aussi l'écrire à partir de cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1 : si cos⁡x=32\cos x=\dfrac{3}{2}, on aurait sin⁡2x=1−94=−54\sin^2 x=1-\dfrac{9}{4}=-\dfrac{5}{4}, ce qui est impossible pour un carré.
sin⁡x=−1\sin x=-1 : exactement une solution sur ]−π ;π]]-\pi\,;\pi], à savoir x=−π2x=-\dfrac{\pi}{2}. Le cas a=−1a=-1 est l'un des deux cas où les deux solutions habituelles se confondent en une seule : le point est au « bas » du cercle, et une seule position y correspond.

Les pièges à éviter

  • Dériver en degrés, ou mélanger les deux unités dans un même calcul.
  • Oublier le facteur aa en dérivant : écrire (sin⁡(3x))′=cos⁡(3x)\big(\sin(3x)\big)'=\cos(3x).
  • Se tromper de signe : écrire sin⁡′=−cos⁡\sin'=-\cos ou cos⁡′=sin⁡\cos'=\sin.
  • Ne donner qu'une solution à cos⁡x=a\cos x=a ou sin⁡x=a\sin x=a sur un intervalle de longueur 2π2\pi.

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