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Terminale · Mathématiques · Chapitre 3

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Ce que tu sauras faire

  • Dire ce que signifie « ff est continue en aa » et « ff est continue sur un intervalle ».
  • Justifier en une ligne la continuité des fonctions construites à partir des fonctions usuelles.
  • Retenir que toute fonction dérivable est continue, et donner un contre-exemple pour la réciproque.
  • Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver qu'une équation admet une solution.
  • Rédiger l'application du corollaire (théorème de la bijection) pour prouver l'unicité de la solution.
  • Encadrer une solution par balayage puis par dichotomie, à la main et en Python.
  • Déterminer la limite d'une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) grâce à la continuité de ff.

Au programme du chapitre

  1. Continuité en un point, continuité sur un intervalle
  2. Les fonctions usuelles sont continues
  3. Dérivable entraîne continue (et pas l'inverse)
  4. Une fonction qui n'est pas continue : la partie entière
  5. Le théorème des valeurs intermédiaires
  6. Le corollaire : théorème de la bijection
  7. Résolution approchée : balayage et dichotomie
  8. Suites définies par récurrence : la limite est un point fixe

Exercices corrigés

Exercice 1

Une fonction ff est continue sur [0 ;1][0\,;1], avec f(0)=−2f(0) = -2 et f(1)=5f(1) = 5. Peux-tu affirmer que ff s'annule sur [0 ;1][0\,;1] ? Et si on enlève l'hypothèse de continuité ?
Un coup de pouce
Reprends les hypothèses du théorème une par une, puis essaie de fabriquer une fonction « à saut » qui respecte les valeurs imposées.
Voir la correction pas à pas
Oui : ff est continue sur [0 ;1][0\,;1] et 0 est compris entre f(0)=−2f(0) = -2 et f(1)=5f(1) = 5. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel cc de [0 ;1][0\,;1] tel que f(c)=0f(c) = 0.
Sans la continuité, la conclusion tombe : la fonction gg définie par g(x)=−2g(x) = -2 si x<0,5x \lt 0{,}5 et g(x)=5g(x) = 5 si x⩾0,5x \geqslant 0{,}5 vérifie g(0)=−2g(0) = -2 et g(1)=5g(1) = 5, mais ne s'annule jamais.

Exercice 2

Le théorème des valeurs intermédiaires permet-il de dire combien l'équation f(x)=kf(x) = k a de solutions ? Que faut-il ajouter pour obtenir l'unicité ?
Un coup de pouce
Pense à une parabole : elle repasse deux fois par la même ordonnée.
Voir la correction pas à pas
Non : le TVI est un théorème d'existence. Il garantit « au moins une » solution, jamais « exactement une ». Par exemple f(x)=x2f(x) = x^2 sur [−2 ;2][-2\,;2] est continue et f(x)=1f(x) = 1 possède deux solutions, −1 et 1.
Pour conclure à l'unicité, il faut ajouter que ff est strictement monotone sur l'intervalle : c'est le corollaire, appelé aussi théorème de la bijection.

Les pièges à éviter

  • Écrire « ff est continue car on peut tracer sa courbe sans lever le crayon » sur une copie.
  • Croire que « continue » entraîne « dérivable ».
  • Conclure à l'unicité de la solution avec le seul théorème des valeurs intermédiaires.
  • Oublier de vérifier que kk est bien compris entre les valeurs aux bornes.

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