Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Ce que tu sauras faire

• Calculer l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire à partir de sa loi, et utiliser la formule $V(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2$.
• Déterminer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes et démontrer la linéarité de l'espérance $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
• Calculer $E(aX+b)$ et $V(aX+b)$, et démontrer ces deux formules.
• Dire ce que sont deux variables aléatoires indépendantes, et démontrer que $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ dans ce cas seulement.
• Dire ce qu'est un échantillon de taille $n$, et démontrer $E(S_n)=n\mu$, $V(S_n)=n\sigma^2$, $E(M_n)=\mu$, $V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}$.
• Démontrer que la loi binomiale est la loi d'une somme de variables de Bernoulli indépendantes, et en déduire $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.
• Démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'appliquer pour majorer une probabilité.
• Démontrer l'inégalité de concentration, énoncer la loi des grands nombres et déterminer une taille d'échantillon suffisante.

Au programme du chapitre

1. Rappels indispensables : loi, espérance, variance
2. La somme de deux variables aléatoires
3. La linéarité de l'espérance
4. Variables indépendantes et variance de la somme
5. Échantillon de taille $n$ : la somme et la moyenne
6. La loi binomiale, enfin démontrée
7. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
8. Inégalité de concentration et loi des grands nombres
9. Comment reconnaître ce qu'on attend de toi

Exercices corrigés