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Terminale · Mathématiques · Chapitre 8

Calcul intégral

Ce que tu sauras faire

  • Interpréter l'intégrale d'une fonction continue positive comme l'aire du domaine situé sous sa courbe, en unités d'aire
  • Énoncer le lien entre intégrale et primitive, et calculer ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x à l'aide d'une primitive
  • Utiliser la linéarité, la relation de Chasles, la positivité, la comparaison et l'inégalité de la moyenne
  • Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et l'interpréter
  • Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes
  • Mener une intégration par parties, notamment avec les fonctions x↦xexx\mapsto x\mathrm{e}^{x} et x↦ln⁡xx\mapsto \ln x
  • Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles et l'approcher par la méthode des trapèzes, et programmer ces méthodes en Python
  • Modéliser par une intégrale une distance, une énergie ou une probabilité

Au programme du chapitre

  1. L'intégrale d'une fonction continue positive
  2. Le théorème fondamental : l'aire et la dérivation
  3. Calculer en pratique, et au-delà des fonctions positives
  4. Les propriétés de l'intégrale
  5. La valeur moyenne d'une fonction
  6. L'aire entre deux courbes
  7. L'intégration par parties
  8. Le calcul approché d'une intégrale
  9. Trois applications

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève écrit : « ∫02x dx=[x22]02=x22\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=\dfrac{x^2}{2} ». Où est la faute de raisonnement, au-delà du calcul ?
Un coup de pouce
Demande-toi si le nombre ∫02x dx\int_0^2 x\,\mathrm{d}x peut dépendre de quelque chose.
Voir la correction pas à pas
Le résultat d'une intégrale est un nombre, jamais une fonction de xx. La variable xx est muette : elle vit uniquement à l'intérieur du symbole ∫\int et disparaît dès que le crochet est évalué.
L'élève a écrit le crochet mais a oublié de l'évaluer. La rédaction correcte est :
∫02x dx=[x22]02=222−022=2.\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=2.
Un bon réflexe de contrôle : si ta réponse contient encore la lettre xx, c'est que le crochet n'a pas été évalué. On pourrait d'ailleurs écrire ∫02t dt\int_0^2 t\,\mathrm{d}t : le résultat serait toujours 2.

Exercice 2

Deux élèves choisissent des primitives différentes de la même fonction, l'une valant F(x)=x2F(x)=x^2 et l'autre G(x)=x2+7G(x)=x^2+7. Obtiennent-ils la même intégrale ?
Un coup de pouce
Écris G=F+kG=F+k et calcule G(b)−G(a)G(b)-G(a) en développant.
Voir la correction pas à pas
Oui, exactement la même, et ce n'est pas un hasard.
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : ici G=F+7G=F+7. Or :
G(b)−G(a)=(F(b)+7)−(F(a)+7)=F(b)−F(a).G(b)-G(a)=\big(F(b)+7\big)-\big(F(a)+7\big)=F(b)-F(a).
La constante s'ajoute puis se retranche : elle disparaît toujours. C'est pourquoi, dans un calcul d'intégrale, on choisit systématiquement la primitive la plus simple, celle sans constante. C'est aussi pourquoi la constante d'intégration, indispensable quand on cherche toutes les primitives, n'a aucune utilité ici.

Les pièges à éviter

  • Inverser les bornes dans le crochet et écrire F(a)−F(b)F(a)-F(b).
  • Conclure que l'aire vaut l'intégrale sans vérifier le signe de la fonction.
  • Croire qu'une intégrale nulle signifie que la fonction est nulle, ou que le domaine est vide.
  • Laisser un xx dans le résultat, en écrivant par exemple ∫02x dx=x22\int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}.

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