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Terminale · Mathématiques · Chapitre 9

Dénombrement et loi binomiale

Ce que tu sauras faire

  • Modéliser une succession d'épreuves indépendantes par un arbre et calculer la probabilité d'un chemin
  • Reconnaître une épreuve de Bernoulli et un schéma de Bernoulli à nn épreuves
  • Définir le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} comme un nombre de chemins et l'interpréter sur l'arbre
  • Démontrer et utiliser la relation de Pascal (n−1k−1)+(n−1k)=(nk)\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}, ainsi que la symétrie
  • Démontrer l'expression P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} de la loi binomiale
  • Calculer E(X)=npE(X)=np et V(X)=np(1−p)V(X)=np(1-p), et interpréter ces deux nombres
  • Calculer une probabilité binomiale à la calculatrice et en Python, et déterminer un seuil
  • Prendre une décision à partir d'un échantillon (contrôle de qualité, sondage, dépistage)

Au programme du chapitre

  1. Succession d'épreuves indépendantes
  2. Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
  3. Le schéma de Bernoulli
  4. Les coefficients binomiaux
  5. La loi binomiale
  6. Espérance et variance
  7. Calculer : calculatrice et Python
  8. Seuils et prise de décision
  9. Trois usages du même outil

Exercices corrigés

Exercice 1

Sans aucun calcul de produit, explique pourquoi (2017)=(203)\binom{20}{17}=\binom{20}{3}.
Un coup de pouce
Si tu connais les 3 épreuves qui ont échoué, connais-tu les 17 autres ?
Voir la correction pas à pas
C'est la propriété de symétrie : (nk)=(nn−k)\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}, et ici 20−17=320-17=3.
La raison est un simple échange de rôles. À tout chemin comportant 17 succès sur 20 épreuves, on associe le chemin obtenu en échangeant succès et échecs : il comporte alors 3 succès. Cette transformation est sa propre réciproque, donc elle apparie un pour un les chemins à 17 succès et les chemins à 3 succès. Les deux ensembles ont donc le même nombre d'éléments.
Autrement dit : choisir les 17 épreuves qui réussissent, c'est exactement choisir les 3 qui échouent. En pratique, cela divise le travail par cinq — on calcule (203)=1 140\binom{20}{3}=1\,140 plutôt que (2017)\binom{20}{17}.

Exercice 2

Soit X∼B(20 ;0,05)X \sim \mathcal{B}(20\,;0{,}05). Un élève calcule P(X⩾4)=1−P(X⩽4)P(X \geqslant 4)=1-P(X \leqslant 4). Explique son erreur et corrige-la.
Un coup de pouce
Écris la liste des valeurs entières qui vérifient X⩾4X \geqslant 4, puis celle des valeurs qui ne la vérifient pas.
Voir la correction pas à pas
L'événement contraire de « X⩾4X \geqslant 4 » est « X<4X\lt 4 ». Comme XX ne prend que des valeurs entières, « X<4X\lt 4 » signifie « X⩽3X \leqslant 3 ». La formule correcte est donc :
P(X⩾4)=1−P(X⩽3).P(X \geqslant 4)=1-P(X \leqslant 3).
L'élève a retranché un terme de trop : sa formule enlève aussi P(X=4)P(X=4), qui appartient pourtant à l'événement cherché.
Chiffrons l'écart. On a P(X⩽3)≈0,9841P(X \leqslant 3)\approx 0{,}9841 et P(X⩽4)≈0,9974P(X \leqslant 4)\approx 0{,}9974. La bonne réponse est 1−0,9841≈0,01591-0{,}9841\approx 0{,}0159 ; la réponse de l'élève donnerait 1−0,9974≈0,00261-0{,}9974\approx 0{,}0026, soit six fois moins. Sur un exercice de prise de décision, cette erreur change la conclusion.

Les pièges à éviter

  • Oublier le coefficient binomial et écrire P(X=k)=pk(1−p)n−kP(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}.
  • Écrire P(X⩾k)=1−P(X⩽k)P(X \geqslant k)=1-P(X \leqslant k).
  • Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise.
  • Croire que (nk)\binom{n}{k} est une probabilité et s'étonner qu'il dépasse 1.

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