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Terminale · Mathématiques · Chapitre 10

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Ce que tu sauras faire

  • Calculer avec les vecteurs de l'espace : somme, relation de Chasles, colinéarité, alignement.
  • Reconnaître trois vecteurs coplanaires, et démontrer que quatre points le sont ou ne le sont pas.
  • Caractériser une droite par un point et un vecteur directeur, un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires.
  • Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans, et appliquer le théorème du toit.
  • Décomposer un vecteur dans une base de l'espace, et démontrer l'unicité de cette décomposition.
  • Écrire et exploiter une représentation paramétrique d'une droite et d'un plan.
  • Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan, ou démontrer qu'elle est vide.

Au programme du chapitre

  1. Les vecteurs de l'espace : ce qui ne change pas
  2. La coplanarité : la notion vraiment nouvelle
  3. Droites et plans : la caractérisation vectorielle
  4. Positions relatives, et le théorème du toit
  5. Base et repère de l'espace
  6. Calculer avec les coordonnées
  7. Représentation paramétrique d'une droite
  8. Représentation paramétrique d'un plan, et intersections

Exercices corrigés

Exercice 1

Peut-on demander si trois points de l'espace sont coplanaires ? Et trois vecteurs ?
Un coup de pouce
Prends trois points au hasard dans la pièce où tu es. Arrives-tu à imaginer un plan qui les contienne tous les trois ?
Voir la correction pas à pas
Pour trois points, la question n'a pas d'intérêt : trois points sont toujours coplanaires. S'ils ne sont pas alignés, ils définissent un plan et un seul ; s'ils sont alignés, une infinité de plans les contiennent. Dans les deux cas, un plan existe. La question ne devient intéressante qu'à partir de quatre points.
Pour trois vecteurs, en revanche, la question a tout son sens : ils peuvent être coplanaires ou non, et c'est précisément cette distinction qui permet de définir une base de l'espace.
Le lien entre les deux : dire que AA, BB, CC, DD sont coplanaires, c'est dire que les trois vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, AD→\overrightarrow{AD} le sont. On ramène toujours une question sur quatre points à une question sur trois vecteurs.

Exercice 2

Les systèmes x=1+2tx=1+2t, y=ty=t, z=3−tz=3-t et x=3+4t′x=3+4t', y=1+2t′y=1+2t', z=2−2t′z=2-2t' représentent-ils la même droite ?
Un coup de pouce
Regarde d'abord si les deux vecteurs directeurs sont colinéaires. Ensuite seulement, cherche si un point de l'une est sur l'autre.
Voir la correction pas à pas
Oui. Il faut le démontrer en deux temps, et non pas comparer les systèmes terme à terme.
1. Les directions. Les vecteurs directeurs sont u⃗(21−1)\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} et u′⃗(42−2)\vec{u'}\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}. On a u′⃗=2u⃗\vec{u'}=2\vec{u}, ce qui se vérifie sur les trois coordonnées : ils sont colinéaires, donc les deux droites sont parallèles.
2. Un point commun. Le point P(3 ;1 ;2)P(3\,;1\,;2) appartient à la seconde droite (prendre t′=0t'=0). Appartient-il à la première ? On résout 1+2t=31+2t=3, d'où t=1t=1 ; on vérifie alors y=1y=1 ✓ et z=3−1=2z=3-1=2 ✓. Oui.
Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues : les deux systèmes représentent bien la même droite.
À retenir : une droite possède une infinité de représentations paramétriques, puisqu'on peut changer de point de départ et multiplier le vecteur directeur par n'importe quel réel non nul.

Les pièges à éviter

  • Conclure « ces droites ne sont pas parallèles, donc elles se coupent ».
  • Résoudre le système de coplanarité avec deux équations et conclure aussitôt.
  • Utiliser le même paramètre tt pour les deux droites dont on cherche l'intersection.
  • Vérifier la colinéarité sur deux coordonnées seulement.

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