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Terminale · Mathématiques · Chapitre 5

La fonction logarithme népérien

Ce que tu sauras faire

  • Définir ln⁡\ln comme la fonction réciproque de l'exponentielle et utiliser l'équivalence ex=y  ⟺  x=ln⁡y\mathrm{e}^{x}=y\iff x=\ln y.
  • Démontrer et appliquer les règles de calcul ln⁡(ab)\ln(ab), ln⁡ab\ln\dfrac{a}{b}, ln⁡(an)\ln\left(a^{n}\right), ln⁡a\ln\sqrt{a}.
  • Résoudre une équation et une inéquation comportant un logarithme, en contrôlant les conditions d'existence.
  • Dériver ln⁡u\ln u et étudier les variations d'une fonction comportant un logarithme.
  • Déterminer les limites de ln⁡\ln en 0+0^{+} et en +∞+\infty, et utiliser les croissances comparées.
  • Modéliser une situation à l'aide du logarithme : décibels, pH, datation, temps de doublement.
  • Rédiger une étude de fonction complète comme à l'épreuve du baccalauréat.

Au programme du chapitre

  1. Définition : la fonction qui défait l'exponentielle
  2. Valeurs remarquables, courbe et signe
  3. La propriété fondamentale : transformer un produit en somme
  4. Les autres règles de calcul
  5. Résoudre une équation, résoudre une inéquation
  6. Dérivée du logarithme
  7. Limites et croissances comparées
  8. Étudier une fonction comportant un logarithme
  9. Le logarithme dans la vraie vie

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi l'écriture ln⁡(−5)\ln(-5) n'a-t-elle aucun sens, alors que (−5)2(-5)^{2} ou e−5\mathrm{e}^{-5} en ont un ?
Un coup de pouce
Reviens à la définition : ln⁡y\ln y est la solution de quelle équation ? Et quelles valeurs l'exponentielle peut-elle prendre ?
Voir la correction pas à pas
Parce que ln⁡y\ln y est défini comme la solution de l'équation ex=y\mathrm{e}^{x}=y, et que cette équation n'a de solution que si y>0y\gt 0.
En effet, l'exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R} : aucune valeur négative ou nulle n'est jamais atteinte. Chercher xx tel que ex=−5\mathrm{e}^{x}=-5 revient à chercher un antécédent qui n'existe pas.
La fonction ln⁡\ln est donc définie sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, et seulement là. En revanche e−5\mathrm{e}^{-5} existe bien : l'exposant, lui, peut être n'importe quel réel — c'est le résultat qui est toujours positif.

Exercice 2

Un élève écrit ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b)=\ln a+\ln b. Trouve un contre-exemple, puis explique quelle règle il a déformée.
Un coup de pouce
Cherche le contre-exemple le plus simple possible : deux nombres dont tu connais le logarithme par cœur.
Voir la correction pas à pas
Contre-exemple : prenons a=b=1a=b=1. À gauche, ln⁡(1+1)=ln⁡2≈0,693\ln(1+1)=\ln 2\approx 0{,}693. À droite, ln⁡1+ln⁡1=0+0=0\ln 1+\ln 1=0+0=0. Les deux membres sont différents : l'égalité est fausse.
Règle déformée : la propriété fondamentale porte sur le produit, pas sur la somme : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b.\ln(ab)=\ln a+\ln b. C'est tout l'intérêt historique du logarithme : il transforme une multiplication en addition. Il ne transforme pas une addition en quoi que ce soit — d'ailleurs ln⁡(a+b)\ln(a+b) ne se simplifie en général pas du tout.

Les pièges à éviter

  • Écrire ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a+b)=\ln a+\ln b.
  • Résoudre une équation avec ln⁡\ln sans poser la condition d'existence, puis garder toutes les racines.
  • Écrire ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln\left(x^{2}\right)=2\ln x sans se demander le signe de xx.
  • Diviser par ln⁡q\ln q dans une inéquation sans regarder son signe, quand 0<q<10\lt q\lt 1.

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