Terminale · Mathématiques · Chapitre 7

Primitives et équations différentielles

primitives
formes composées
condition initiale
$y'=ay+b$

Ce que tu sauras faire

Dire ce qu'est une primitive d'une fonction sur un intervalle, et le vérifier par dérivation.
Démontrer que deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Déterminer les primitives des fonctions usuelles.
Reconnaître et primitiver les formes $u'u^{n}$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'\mathrm{e}^{u}$ et $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ .
Déterminer l'unique primitive vérifiant une condition initiale donnée.
Résoudre l'équation différentielle $y'=ay$ , en connaître la démonstration, et résoudre $y'=ay+b$ .
Modéliser une situation (refroidissement, circuit, chute, population) par une équation différentielle et interpréter la solution.

Au programme du chapitre

Remonter la dérivée : la notion de primitive
L'ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle
Les primitives des fonctions usuelles
Reconnaître une forme composée
La primitive qui vérifie une condition initiale
L'équation différentielle $y'=ay$
L'équation différentielle $y'=ay+b$
Modéliser avec une équation différentielle

Exercices corrigés

Exercice 1

Le théorème « deux primitives diffèrent d'une constante » est énoncé sur un intervalle. Que se passe-t-il si l'on oublie ce mot ?

Un coup de pouce

Sur quel ensemble la fonction

x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}}

est-elle définie ? Est-ce un intervalle ?

Voir la correction pas à pas

Le théorème devient faux. Sa démonstration repose entièrement sur le résultat : « une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante ».
Prenons

f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}

sur

\mathbb{R}^{*}

, qui n'est pas un intervalle mais la réunion de

]-\infty\,;0[

]0\,;+\infty[

. Considérons

F(x)=-\dfrac{1}{x}\quad\text{et}\quad G(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{x}&\text{si }x\lt 0\\[4pt]-\dfrac{1}{x}+3&\text{si }x\gt 0\end{cases}

Les deux fonctions ont pour dérivée

\dfrac{1}{x^{2}}

partout où elles sont définies, et pourtant leur différence vaut 0 d'un côté et 3 de l'autre : ce n'est pas une constante.
Conclusion pratique : on commence toujours par annoncer l'intervalle de travail.

Exercice 2

Un élève écrit : « une primitive de

f\times g

est

F\times G

 ». Comment le réfuter en une ligne ?

Un coup de pouce

Choisis les deux fonctions les plus simples possible, calcule les deux membres et compare.

Voir la correction pas à pas

Par un contre-exemple, et le plus simple suffit. Prenons

f(x)=g(x)=x

sur

\mathbb{R}

.
• Une primitive de

f

est

F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}

, une primitive de

g

est

G(x)=\dfrac{x^{2}}{2}

, donc

F(x)G(x)=\dfrac{x^{4}}{4}

.
• Or

\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right)'=x^{3}

, alors que

f(x)g(x)=x^{2}

.
Les deux ne coïncident pas : la règle est fausse.
La raison profonde : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées (

(FG)'=F'G+FG'

), donc en remontant il ne peut pas y avoir de règle aussi simple. C'est précisément pour cela que le cours donne des formes à reconnaître (

u'u^{n}

\dfrac{u'}{u}

…) plutôt qu'une règle du produit.

Les pièges à éviter

Primitiver un produit facteur par facteur : « une primitive de $x\mathrm{e}^{x}$ est $\dfrac{x^{2}}{2}\mathrm{e}^{x}$  ».
Écrire $\ln u$ sans vérifier que $u\gt 0$ sur l'intervalle de travail.
Oublier la constante $k$ et répondre « la primitive est… ».
Compenser un facteur manquant qui dépend de $x$ , par exemple écrire $\dfrac{1}{x}\times$ quelque chose.

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