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Terminale · Mathématiques · Chapitre 1

Suites : récurrence et limites

Ce que tu sauras faire

  • Rédiger un raisonnement par récurrence complet : initialisation, hérédité, conclusion
  • Montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée, souvent par récurrence
  • Utiliser les définitions d'une limite finie et d'une limite infinie, et déterminer un rang à partir duquel une condition est vérifiée
  • Calculer une limite avec les opérations, et reconnaître les quatre formes indéterminées
  • Appliquer les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes
  • Démontrer que qnq^n tend vers +∞+\infty quand q>1q\gt 1 à l'aide de l'inégalité de Bernoulli, et connaître la limite de qnq^n dans tous les cas
  • Utiliser le théorème de la limite monotone pour prouver qu'une suite converge
  • Étudier une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) en s'appuyant sur un raisonnement par récurrence

Au programme du chapitre

  1. Le raisonnement par récurrence
  2. Suites majorées, minorées, bornées
  3. La limite d'une suite
  4. Opérations sur les limites
  5. Comparaison et théorème des gendarmes
  6. Limite d'une suite géométrique
  7. Le théorème de la limite monotone
  8. Les suites définies par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève écrit : « Supposons que la propriété soit vraie pour tout entier nn ; montrons qu'elle est vraie au rang n+1n+1. » Qu'est-ce qui ne va pas ?
Un coup de pouce
Compte combien d'entiers sont concernés par le mot « supposons ».
Voir la correction pas à pas
Il suppose exactement ce qu'il veut démontrer. L'hypothèse de récurrence porte sur un entier nn fixé, pas sur tous les entiers à la fois : on écrit « soit nn un entier fixé ; supposons P(n)P(n) vraie ». Si l'on supposait déjà la propriété vraie pour tout nn, il n'y aurait plus rien à démontrer, et le raisonnement serait circulaire.

Exercice 2

On considère la propriété P(n)P(n) : « 3n3^n est pair ». Montre que PP est héréditaire, puis explique pourquoi cela ne prouve rien.
Un coup de pouce
Une implication « si … alors … » peut être vraie alors que son hypothèse n'est jamais réalisée.
Voir la correction pas à pas
Hérédité : soit nn un entier tel que 3n3^n soit pair. Alors 3n+1=3×3n3^{n+1}=3\times 3^n est le produit d'un entier par un nombre pair, donc 3n+13^{n+1} est pair : P(n+1)P(n+1) est vraie. La propriété est donc bien héréditaire.
Pourtant P(n)P(n) est fausse pour tout nn : 30=13^0=1, 31=33^1=3, 32=93^2=9 sont impairs. L'hérédité seule ne prouve rien car l'initialisation échoue : aucun domino n'est poussé, et une file de dominos parfaitement alignée reste debout tant que personne ne renverse le premier.

Les pièges à éviter

  • Oublier l'initialisation, ou l'écrire sans vérifier vraiment (« pour n=0n=0 c'est évident »).
  • Écrire « supposons que P(n)P(n) soit vraie pour tout nn » au début de l'hérédité.
  • Faire une hérédité qui n'utilise jamais l'hypothèse de récurrence.
  • Donner un majorant qui dépend de nn, par exemple « un⩽n+1u_n \leqslant n+1 donc la suite est majorée ».

Pour aller plus loin

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