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Terminale · Mathématiques · Chapitre 2

Limites de fonctions

Ce que tu sauras faire

  • Dire ce que signifie « f(x)f(x) tend vers LL » ou « f(x)f(x) tend vers +∞+\infty », en +∞+\infty, en −∞-\infty et en un réel aa.
  • Déterminer une limite à gauche et une limite à droite en un point, et les distinguer.
  • Utiliser les limites des fonctions de référence et les opérations sur les limites.
  • Reconnaître les quatre formes indéterminées et les lever par factorisation du terme dominant.
  • Lever une indétermination avec une expression conjuguée.
  • Interpréter graphiquement une limite en termes d'asymptote horizontale ou verticale.
  • Utiliser les croissances comparées entre exponentielle, puissances de xx et logarithme.

Au programme du chapitre

  1. La limite d'une fonction en +∞+\infty et en −∞-\infty
  2. Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
  3. Limite en un point, limite à gauche, limite à droite
  4. Les limites des fonctions de référence
  5. Opérations sur les limites
  6. Lever une indétermination : factoriser par le terme dominant
  7. Lever une indétermination : l'expression conjuguée
  8. Limite d'une fonction composée
  9. Croissances comparées

Exercices corrigés

Exercice 1

En +∞+\infty, ff tend vers +∞+\infty et gg tend vers −∞-\infty. Que peut-on dire de la limite de f+gf+g ?
Un coup de pouce
Fabrique trois couples de fonctions très simples, toutes de la forme ∞−∞\infty-\infty, et compare les trois résultats.
Voir la correction pas à pas
Rien, tant qu'on n'a pas transformé l'écriture : c'est la forme indéterminée ∞−∞\infty-\infty. Trois exemples le prouvent, tous avec la même forme et trois résultats différents.
• f(x)=x2f(x)=x^{2} et g(x)=−xg(x)=-x : f(x)+g(x)=x2−x=x(x−1)f(x)+g(x)=x^{2}-x=x(x-1), et lim⁡x→+∞(x2−x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^{2}-x)=+\infty.
• f(x)=x2f(x)=x^{2} et g(x)=−x2g(x)=-x^{2} : f(x)+g(x)=0f(x)+g(x)=0, la limite vaut 0.
• f(x)=xf(x)=x et g(x)=−2xg(x)=-2x : f(x)+g(x)=−xf(x)+g(x)=-x, et lim⁡x→+∞(−x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty.
« Indéterminé » ne veut donc pas dire « sans limite » : cela veut dire que cette écriture-là ne permet pas de conclure.

Exercice 2

Pourquoi la règle « une fonction rationnelle se comporte comme le quotient de ses termes de plus haut degré » est-elle interdite en un réel aa ?
Un coup de pouce
Relis la démonstration de la règle : de quoi a-t-on besoin pour dire que les termes supplémentaires disparaissent ?
Voir la correction pas à pas
Parce que sa justification repose entièrement sur des quotients du type 1x\dfrac{1}{x}, 1x2\dfrac{1}{x^{2}}… qui tendent vers 0 — ce qui n'est vrai que lorsque ∣x∣|x| devient très grand. Au voisinage d'un réel aa, ces quantités n'ont aucune raison d'être petites.
Contre-exemple net : pour g(x)=x2−4x2−3x+2g(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-3x+2}, la règle donnerait x2x2=1\dfrac{x^{2}}{x^{2}}=1. Or, en factorisant, g(x)=(x−2)(x+2)(x−2)(x−1)=x+2x−1g(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{x+2}{x-1} pour x≠2x\neq 2, donc lim⁡x→2g(x)=41=4\displaystyle\lim_{x\to 2}g(x)=\dfrac{4}{1}=4, et non 1.

Les pièges à éviter

  • Écrire « 00=1\dfrac{0}{0}=1 » ou « 00=0\dfrac{0}{0}=0 » et conclure.
  • Écrire « ∞−∞=0\infty-\infty=0 » parce que « c'est la même chose qui part des deux côtés ».
  • Simplifier x2\sqrt{x^{2}} en xx lors d'une étude en −∞-\infty.
  • Conclure « limite =+∞=+\infty » dès que le dénominateur tend vers 0.

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