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Terminale · Mathématiques · Chapitre 4

Dérivation et convexité

Ce que tu sauras faire

  • Dériver une fonction composée : u(ax+b)u(ax+b), unu^n, u\sqrt{u}, eue^u.
  • Calculer une dérivée seconde et interpréter son signe.
  • Dire ce que signifie « ff est convexe » ou « ff est concave » sur un intervalle.
  • Relier convexité, croissance de f′f' et signe de f′′f''.
  • Démontrer qu'une courbe convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes, et en déduire une inégalité.
  • Déterminer les points d'inflexion d'une courbe et justifier qu'il y en a bien un.
  • Mener l'étude complète d'une fonction : variations, convexité, tangentes, courbe.
  • Résoudre un problème d'optimisation et interpréter le point d'inflexion dans un contexte concret.

Au programme du chapitre

  1. Rappels de dérivation
  2. Dérivée d'une fonction composée
  3. La dérivée seconde
  4. Convexité et concavité : les définitions
  5. Reconnaître la convexité : f′f' croissante, f′′f'' positive
  6. La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes
  7. Le point d'inflexion
  8. L'étude complète d'une fonction
  9. Optimisation

Exercices corrigés

Exercice 1

Une fonction convexe est-elle forcément croissante ? Une fonction croissante est-elle forcément convexe ?
Un coup de pouce
Cherche un exemple pour chaque cas parmi les fonctions de référence : carré, racine, cube, inverse.
Voir la correction pas à pas
Les deux réponses sont non, et il est essentiel de ne jamais mélanger ces deux notions.
Convexe sans être croissante : x↦x2x \mapsto x^2 est convexe sur R\mathbb{R} (sa dérivée seconde vaut 2>02 \gt 0), pourtant elle décroît sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0].
Croissante sans être convexe : x↦xx \mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, mais sa dérivée seconde vaut −14xx<0-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}} \lt 0 : elle est concave.
Retiens la formule : la variation est l'affaire de f′f', la convexité est l'affaire de f′′f''.

Exercice 2

★ Calcule la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur un intervalle où l'expression a un sens.
a) f(x)=(5x−3)4f(x) = (5x-3)^4.
b) g(x)=2x+7g(x) = \sqrt{2x+7}.
c) h(x)=e3x−1h(x) = e^{3x-1}.
d) k(x)=(x2+x)3k(x) = (x^2+x)^3.
Un coup de pouce
Dans chaque cas, identifie d'abord la fonction uu « à l'intérieur », calcule u′u', puis applique la formule correspondante sans oublier le facteur u′u'.
Voir la correction pas à pas
a) On applique (un)′=n u′ un−1(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} avec u(x)=5x−3u(x) = 5x-3 et u′(x)=5u'(x) = 5 :
f′(x)=4×5×(5x−3)3=20(5x−3)3f'(x) = 4 \times 5 \times (5x-3)^3 = 20(5x-3)^3.
b) On applique (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} avec u(x)=2x+7u(x) = 2x+7 et u′(x)=2u'(x) = 2 :
g′(x)=222x+7=12x+7g'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+7}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}}, pour x>−3,5x \gt -3{,}5.
c) On applique (eu)′=u′eu(e^u)' = u'e^u avec u(x)=3x−1u(x) = 3x-1 et u′(x)=3u'(x) = 3 :
h′(x)=3e3x−1h'(x) = 3e^{3x-1}.
d) Ici u(x)=x2+xu(x) = x^2+x et u′(x)=2x+1u'(x) = 2x+1, donc
k′(x)=3(2x+1)(x2+x)2k'(x) = 3(2x+1)(x^2+x)^2.

Les pièges à éviter

  • Oublier le facteur u′u' en dérivant une composée, et écrire ((5x−3)4)′=4(5x−3)3\big((5x-3)^4\big)' = 4(5x-3)^3.
  • Confondre le signe de f′f' et le sens de variation de f′f'.
  • Croire qu'une fonction convexe est forcément croissante.
  • Conclure à un point d'inflexion dès que f′′f'' s'annule.

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