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Première · Mathématiques · Chapitre 7

Trigonométrie

Ce que tu sauras faire

  • Placer le point image d'un réel sur le cercle trigonométrique et déterminer la mesure principale d'un angle
  • Convertir une mesure d'angle entre degrés et radians, et calculer une longueur d'arc
  • Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels remarquables et les retrouver sur le cercle
  • Utiliser l'égalité cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 et savoir la démontrer
  • Utiliser les formules des angles associés (−x-x, π−x\pi-x, π+x\pi+x, π2−x\frac{\pi}{2}-x, π2+x\frac{\pi}{2}+x)
  • Résoudre une équation du type cos⁡x=a\cos x=a ou sin⁡x=a\sin x=a sur un intervalle donné ou sur R\mathbb{R}
  • Retenir que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π2\pi, l'une paire et l'autre impaire, et reconnaître leur courbe

Au programme du chapitre

  1. Du triangle rectangle au cercle
  2. Le cercle trigonométrique
  3. Le radian, une unité qui se lit sur la figure
  4. L'enroulement de la droite numérique
  5. Cosinus et sinus d'un nombre réel
  6. Les valeurs remarquables
  7. Les angles associés
  8. Résoudre cos⁡x=a\cos x=a et sin⁡x=a\sin x=a
  9. Les fonctions cosinus et sinus

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève affirme : « chaque point du cercle trigonométrique correspond à un seul nombre réel ». A-t-il raison ? Justifie.
Un coup de pouce
Que se passe-t-il quand on ajoute un tour complet, c'est-à-dire 2π2\pi, au nombre enroulé ?
Voir la correction pas à pas
Non, c'est l'inverse qui est vrai. À chaque réel xx correspond un seul point M(x)M(x) du cercle : on enroule la droite réelle sur le cercle, chaque réel arrive quelque part et à un seul endroit. Mais un même point est atteint par une infinité de réels : après un tour complet, de longueur 2π2\pi, on revient exactement au même point. Ainsi M(x)=M(y)M(x)=M(y) si et seulement s'il existe un entier relatif kk tel que y=x+2kπy=x+2k\pi. Par exemple π3\dfrac{\pi}{3}, π3+2π=7π3\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3} et π3−2π=−5π3\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3} désignent le même point. C'est exactement pour cela qu'on choisit une mesure principale, l'unique mesure située dans ]−π ;π]]-\pi\,;\pi].

Exercice 2

Pourquoi l'égalité cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 est-elle vraie pour tout réel xx, sans aucune exception ? Quel théorème de collège se cache derrière ?
Un coup de pouce
Quelle est la distance du centre OO au point M(x)M(x) ? Et que valent les côtés du triangle rectangle ?
Voir la correction pas à pas
Par construction, cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x sont l'abscisse et l'ordonnée du point M(x)M(x) du cercle trigonométrique, dans le repère (O ;i⃗,j⃗)(O\,;\vec{i},\vec{j}). Or ce cercle a pour centre OO et pour rayon 1 : donc OM=1OM=1 quel que soit xx. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par OO, MM et le projeté de MM sur l'axe des abscisses, on obtient cos⁡2x+sin⁡2x=OM2=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=OM^{2}=1. Comme M(x)M(x) est sur le cercle pour tout réel xx, l'égalité n'a aucune exception : elle est vraie pour xx positif, négatif, grand ou petit. C'est le théorème de Pythagore, déguisé.

Les pièges à éviter

  • Utiliser la formule ℓ=Rα\ell=R\alpha avec un angle exprimé en degrés.
  • Confondre cos⁡π6\cos\dfrac{\pi}{6} et cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}.
  • Écrire cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 sous la forme cos⁡x+sin⁡x=1\cos x+\sin x=1.
  • Oublier qu'une racine carrée laisse deux possibilités de signe.

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