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Première · Mathématiques · Chapitre 4

Dérivation : taux de variation, nombre dérivé et tangente

Ce que tu sauras faire

  • Calculer le taux de variation d'une fonction entre deux points et l'interpréter comme la pente d'une sécante.
  • Approcher un nombre dérivé numériquement, en calculant le taux de variation pour des valeurs de hh de plus en plus proches de 0.
  • Déterminer algébriquement le nombre dérivé f′(a)f'(a) pour la fonction carré, la fonction inverse et une fonction polynôme du second degré.
  • Déterminer une équation de la tangente à une courbe au point d'abscisse aa et savoir démontrer la formule y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a).
  • Utiliser l'approximation affine f(a+h)≈f(a)+f′(a)hf(a+h)\approx f(a)+f'(a)h pour estimer une valeur.
  • Interpréter un nombre dérivé comme une vitesse instantanée en cinématique ou un coût marginal en économie.
  • Lire graphiquement un nombre dérivé sur une courbe munie de ses tangentes.

Au programme du chapitre

  1. Le taux de variation entre deux points
  2. Quand les sécantes deviennent tangente : le nombre dérivé
  3. Calculer un nombre dérivé algébriquement
  4. La tangente et son équation
  5. L'approximation affine locale
  6. Vitesse instantanée, coût marginal : le nombre dérivé dans les autres disciplines
  7. Lire un nombre dérivé sur un graphique
  8. Ce qu'il faut retenir

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi le taux de variation d'une fonction se calcule-t-il toujours entre deux abscisses distinctes ? Que devient l'expression si on prend b=ab=a ?
Un coup de pouce
Regarde ce qui se passe au dénominateur, puis demande-toi pourquoi on écrit toujours « pour h≠0h\neq 0 » avant de simplifier.
Voir la correction pas à pas

Le taux de variation f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} mesure une variation moyenne : il faut un intervalle pour qu'il y ait quelque chose à moyenner. Si b=ab=a, le dénominateur b−ab-a vaut 0 et le quotient n'existe pas : on ne peut pas diviser par zéro.

Toute l'astuce du chapitre consiste à contourner cet interdit : on garde h≠0h\neq 0 pendant tout le calcul (le quotient a alors un sens), et ce n'est qu'à la fin, sur l'expression simplifiée, qu'on regarde vers quel nombre elle se dirige quand hh se rapproche de 0. Ce nombre est f′(a)f'(a) : il n'est jamais obtenu en remplaçant hh par 0 dans le quotient de départ.

Exercice 2

Le taux de variation de ff entre 1 et 5 vaut 0. Peut-on en déduire que ff est constante sur [1 ;5][1\,;5] ?
Un coup de pouce
Un taux nul veut dire f(5)−f(1)=0f(5)-f(1)=0. Une fonction peut-elle descendre puis remonter d'autant ?
Voir la correction pas à pas

Non. Le taux vaut 0 signifie seulement f(5)=f(1)f(5)=f(1) : la fonction revient à la même valeur, sans dire ce qu'elle a fait entre les deux.

Contre-exemple : f(x)=x2−6xf(x)=x^2-6x donne f(1)=1−6=−5f(1)=1-6=-5 et f(5)=25−30=−5f(5)=25-30=-5, donc un taux nul, alors que f(3)=9−18=−9≠−5f(3)=9-18=-9\neq -5 : la fonction descend puis remonte.

Un taux de variation ne décrit qu'un bilan global entre deux points ; c'est justement pour décrire ce qui se passe en un point qu'on invente le nombre dérivé.

Les pièges à éviter

  • Confondre f(a)f(a) et f′(a)f'(a) : écrire « la tangente a pour pente f(a)f(a) ».
  • Remplacer directement hh par 0 dans le quotient f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • Oublier de diviser : annoncer que le taux de variation vaut f(b)−f(a)f(b)-f(a).
  • Écrire la tangente sous la forme y=f′(a)(x−a)y=f'(a)(x-a) en oubliant f(a)f(a).

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