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Première · Mathématiques · Chapitre 6

La fonction exponentielle

Ce que tu sauras faire

  • Retenir que la fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=ff'=f et f(0)=1f(0)=1
  • Utiliser la relation fonctionnelle exp⁡(a+b)=exp⁡(a)exp⁡(b)\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) et ses conséquences, et savoir les démontrer
  • Retenir que ex>0e^x\gt 0 pour tout réel xx, dériver x↦ekxx\mapsto e^{kx} et étudier les variations de fonctions simples avec exponentielle
  • Résoudre une équation ou une inéquation du type eA=eBe^A=e^B et eA<eBe^A\lt e^B
  • Relier une suite géométrique (temps discret) et un modèle exponentiel (temps continu)
  • Modéliser des intérêts composés, une dilution, une décroissance radioactive
  • Tracer la tangente en 0 d'équation y=x+1y=x+1 et l'utiliser comme approximation

Au programme du chapitre

  1. Une fonction égale à sa propre dérivée
  2. Le nombre ee et la notation exe^x
  3. La relation fonctionnelle
  4. Signe, variations, courbe et tangente en 0
  5. Dériver des expressions contenant l'exponentielle
  6. Équations et inéquations
  7. Temps discret, temps continu : suites géométriques et exponentielle
  8. Trois modèles à connaître

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi a-t-on besoin des deux conditions f′=ff'=f et f(0)=1f(0)=1 pour définir la fonction exponentielle ? Une seule ne suffirait-elle pas ?
Un coup de pouce
Cherche une fonction très simple qui est égale à sa propre dérivée, puis regarde combien elle vaut en 0.
Voir la correction pas à pas
Aucune des deux ne suffit seule. La fonction nulle g(x)=0g(x)=0 vérifie g′=gg'=g (car 0′=00'=0), mais g(0)=0≠1g(0)=0\neq 1 : la condition f′=ff'=f ne caractérise donc pas une unique fonction. De même, la fonction h=2exp⁡h=2\exp vérifie h′=hh'=h mais h(0)=2h(0)=2. Inversement, une infinité de fonctions valent 1 en 0 (par exemple x↦x+1x\mapsto x+1) sans être égales à leur dérivée. C'est le couple des deux conditions qui rend la fonction unique : f′=ff'=f impose la « forme » de la croissance, f(0)=1f(0)=1 fixe la « taille » de départ.

Exercice 2

Justifie en une phrase pourquoi on s'autorise à écrire exp⁡(x)\exp(x) sous la forme d'une puissance exe^{x}.
Un coup de pouce
Compare la relation fonctionnelle avec la règle qa×qb=qa+bq^{a}\times q^{b}=q^{a+b} vue avec les suites géométriques.
Voir la correction pas à pas
Parce que exp⁡\exp obéit exactement aux mêmes règles que les puissances : exp⁡(a+b)=exp⁡(a)exp⁡(b)\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) est l'analogue de qa+b=qaqbq^{a+b}=q^{a}q^{b}, et on a aussi exp⁡(−a)=1exp⁡(a)\exp(-a)=\dfrac{1}{\exp(a)} et exp⁡(na)=(exp⁡(a))n\exp(na)=\left(\exp(a)\right)^{n}. Comme de plus exp⁡(1)=e\exp(1)=e, la fonction exp⁡\exp se comporte comme « ee à la puissance xx » : la notation exe^{x} n'est donc pas un abus, elle est cohérente avec tout ce que tu sais des puissances.

Les pièges à éviter

  • Écrire ea+b=ea+ebe^{a+b}=e^{a}+e^{b}.
  • Dériver exe^{x} comme une puissance : (ex)′=x ex−1\left(e^{x}\right)'=x\,e^{x-1}.
  • Oublier le coefficient en dérivant : (e3x)′=e3x\left(e^{3x}\right)'=e^{3x}.
  • Croire que e−x=−exe^{-x}=-e^{x}.

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