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Première · Mathématiques · Chapitre 1

Suites numériques et modèles discrets

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître et utiliser les trois modes de génération d'une suite : formule explicite, relation de récurrence, algorithme
  • Démontrer et appliquer la formule du terme général d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique
  • Relier une suite arithmétique à un accroissement constant et à une fonction affine, une suite géométrique à un taux d'évolution constant
  • Calculer les sommes 1+2+⋯+n1+2+\dots+n et 1+q+⋯+qn1+q+\dots+q^n, et savoir les démontrer
  • Étudier le sens de variation d'une suite en comparant un+1u_{n+1} et unu_n
  • Décrire, sur des exemples, le comportement d'une suite quand nn devient grand
  • Écrire et lire un algorithme qui calcule des termes, une somme ou cherche un seuil

Au programme du chapitre

  1. Ce qu'est une suite, et les trois façons de la fabriquer
  2. Suites arithmétiques
  3. La somme 1+2+⋯+n1+2+\dots+n
  4. Suites géométriques
  5. La somme 1+q+⋯+qn1+q+\dots+q^n
  6. Sens de variation d'une suite
  7. Que devient unu_n quand nn devient grand ?
  8. Modéliser une situation par une suite
  9. Algorithmes sur les suites

Exercices corrigés

Exercice 1

Une élève calcule u1−u0=3u_1-u_0=3 puis u2−u1=3u_2-u_1=3 et conclut : « la suite est arithmétique de raison 3 ». Que penses-tu de sa conclusion ?
Un coup de pouce
Combien de valeurs de nn la définition concerne-t-elle ? Peux-tu imaginer une suite qui commence comme une suite arithmétique sans en être une ?
Voir la correction pas à pas
Sa conclusion n'est pas justifiée. La définition exige que la différence un+1−unu_{n+1}-u_n soit égale à 3 pour tout entier nn, et pas seulement pour n=0n=0 et n=1n=1. Deux différences égales ne disent rien des suivantes : la suite 0 ;3 ;6 ;10 ;15 ;…0\,;3\,;6\,;10\,;15\,;\dots commence exactement comme une suite arithmétique de raison 3 et n'en est pas une. Pour conclure, il faut calculer un+1−unu_{n+1}-u_n avec un nn quelconque et obtenir une expression où nn a disparu.

Exercice 2

Une suite géométrique peut-elle être décroissante tout en n'ayant que des termes strictement positifs ? Si oui, donne une condition sur la raison.
Un coup de pouce
Écris un+1−unu_{n+1}-u_n en mettant u0q nu_0q^{\,n} en facteur, puis regarde le signe des deux facteurs.
Voir la correction pas à pas
Oui. Si u0>0u_0\gt 0 et si la raison vérifie 0<q<10\lt q\lt 1, alors tous les termes un=u0q nu_n=u_0q^{\,n} sont strictement positifs, et un+1−un=u0q n(q−1)u_{n+1}-u_n=u_0q^{\,n}(q-1) est strictement négatif puisque q−1<0q-1\lt 0 : la suite décroît. Exemple : un=100×0,9 nu_n=100\times 0{,}9^{\,n}. Les termes diminuent sans arrêt mais restent positifs : ils se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.

Les pièges à éviter

  • Confondre un+1u_{n+1} et un+1u_n+1.
  • Oublier de remplacer tous les nn par n+1n+1.
  • Conclure qu'une suite est arithmétique après avoir vérifié deux ou trois différences.
  • Se tromper d'un rang dans la formule du terme général.

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