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Première · Mathématiques · Chapitre 11

Variables aléatoires réelles

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître une variable aléatoire définie sur un univers fini et traduire un événement du type (X=a)(X=a)
  • Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et la présenter dans un tableau dont la somme des probabilités vaut 1
  • Calculer l'espérance E(X)E(X) et l'interpréter comme la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions
  • Démontrer et utiliser la linéarité de l'espérance : E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b
  • Calculer la variance par la définition et par la formule V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left(E(X)\right)^{2}, puis l'écart type σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
  • Utiliser V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^{2}V(X) et interpréter l'écart type comme une mesure du risque
  • Décider si un jeu est équitable et modéliser une tarification ou un contrôle de qualité

Au programme du chapitre

  1. Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
  2. La loi de probabilité de XX
  3. L'espérance : la valeur moyenne
  4. Jeux équitables
  5. Linéarité de l'espérance
  6. Variance et écart type
  7. Variance d'une transformation affine
  8. Trois applications à savoir traiter

Exercices corrigés

Exercice 1

L'espérance d'une variable aléatoire peut-elle être une valeur que XX ne prend jamais ? Si oui, que signifie alors ce nombre ?
Un coup de pouce
Compare avec la moyenne d'une classe : elle peut valoir 12,312{,}3 sans qu'aucun élève ait cette note.
Voir la correction pas à pas
Oui, et c'est très fréquent. Pour un dé équilibré à six faces, E(X)=1+2+3+4+5+66=3,5E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5, alors qu'aucune face ne porte 3,53{,}5. L'espérance n'est pas une valeur du jeu : c'est une moyenne pondérée. Sa signification est celle d'une moyenne au long cours : si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des résultats observés se rapproche de 3,53{,}5. Sur 1000 lancers, la somme des points obtenus sera voisine de 3500.

Exercice 2

Pourquoi, dans la variance, élève-t-on les écarts xi−E(X)x_{i}-E(X) au carré ? Que se passerait-il si l'on additionnait simplement les écarts pondérés ?
Un coup de pouce
Calcule ∑pi(xi−E(X))\sum p_{i}\left(x_{i}-E(X)\right) en développant, avec ∑pi=1\sum p_{i}=1.
Voir la correction pas à pas
Si l'on additionnait les écarts pondérés, on obtiendrait toujours zéro. En effet ∑pi(xi−E(X))=∑pixi−E(X)∑pi=E(X)−E(X)=0\sum p_{i}\left(x_{i}-E(X)\right)=\sum p_{i}x_{i}-E(X)\sum p_{i}=E(X)-E(X)=0 : les écarts positifs compensent exactement les écarts négatifs, et l'indicateur ne mesurerait rien du tout. Le carré résout ce problème de deux façons : il rend tous les termes positifs, donc empêche toute compensation, et il donne plus de poids aux grands écarts, qui sont précisément ceux qui font le risque. En contrepartie, la variance n'est plus dans l'unité de XX (des « euros au carré ») : c'est pourquoi on prend ensuite la racine carrée pour obtenir l'écart type.

Les pièges à éviter

  • Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
  • Calculer l'espérance en faisant la moyenne des valeurs, sans les probabilités.
  • Oublier de retrancher la mise dans un problème de jeu.
  • Confondre E(X2)E\left(X^{2}\right) et (E(X))2\left(E(X)\right)^{2}.

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