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Première · Mathématiques · Chapitre 2

Le second degré : formes, racines et signe

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître une fonction polynôme du second degré et passer d'une forme à l'autre (développée, canonique, factorisée).
  • Mettre un trinôme sous forme canonique par complétion du carré, à l'aide de l'identité x2+2ax=(x+a)2−a2x^2+2ax=(x+a)^2-a^2.
  • Calculer le discriminant, résoudre une équation du second degré et factoriser quand c'est possible.
  • Démontrer la formule de résolution de l'équation du second degré.
  • Étudier le signe d'un trinôme, en particulier à partir de sa forme factorisée.
  • Utiliser la somme et le produit des racines pour factoriser vite ou retrouver un trinôme.
  • Lire sur la parabole le sommet, l'axe de symétrie et le sens de variation.

Au programme du chapitre

  1. La fonction polynôme du second degré
  2. Forme factorisée : racines, signe, somme et produit
  3. La forme canonique par complétion du carré
  4. Sommet, axe de symétrie et variations
  5. Le discriminant et la résolution de l'équation
  6. Signe du trinôme
  7. Choisir la forme adaptée au problème

Exercices corrigés

Exercice 1

Deux trinômes qui ont exactement les mêmes racines sont-ils forcément égaux ? Illustre ta réponse.
Un coup de pouce
Pars de la forme factorisée a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) : que peux-tu changer sans modifier les racines ?
Voir la correction pas à pas
Non. Les racines ne déterminent le trinôme qu'à un coefficient multiplicatif près. Par exemple f(x)=(x−1)(x−3)=x2−4x+3f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3 et g(x)=5(x−1)(x−3)=5x2−20x+15g(x)=5(x-1)(x-3)=5x^2-20x+15 ont les mêmes racines 1 et 3, mais sont différents : f(0)=3f(0)=3 alors que g(0)=15g(0)=15. Tous les trinômes de racines 1 et 3 s'écrivent a(x−1)(x−3)a(x-1)(x-3) avec a≠0a\neq 0. Pour en déterminer un seul, il faut une information supplémentaire, par exemple la valeur en un point, ou le coefficient aa.

Exercice 2

La forme canonique donne le sommet ; la forme factorisée donne les racines. Peut-on toujours obtenir les deux ? Explique ce qui bloque éventuellement.
Un coup de pouce
Essaie de factoriser x2+x+1x^2+x+1, puis calcule son discriminant. Que se passe-t-il ?
Voir la correction pas à pas
La forme canonique existe toujours : la complétion du carré fonctionne pour tout trinôme, quel que soit le signe de Δ\Delta. En revanche, la forme factorisée a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) n'existe que si le trinôme possède des racines réelles, c'est-à-dire si Δ⩾0\Delta\geqslant 0. Par exemple x2+x+1x^2+x+1 a pour forme canonique (x+12)2+34\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}, mais ne se factorise pas car Δ=−3<0\Delta=-3\lt 0. Le sommet est donc toujours accessible, les racines non.

Les pièges à éviter

  • Calculer Δ\Delta sans avoir ramené l'équation à la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, par exemple directement sur 3x2=5x−13x^2=5x-1.
  • Se tromper de signe dans b2b^2 quand bb est négatif : écrire Δ=−49−…\Delta=-49-\ldots pour b=−7b=-7.
  • Confondre le discriminant et une racine : annoncer « Δ=25\Delta=25 donc x=25x=25 ».
  • Oublier de diviser par 2a2a tout entier : écrire x=−b±Δ2ax=-b\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}.

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