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Troisième · Mathématiques · Chapitre 8

Théorème de Pythagore et trigonométrie du triangle rectangle

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître l'hypoténuse d'un triangle rectangle et écrire correctement l'égalité de Pythagore.
  • Calculer la longueur de l'hypoténuse à partir des deux côtés de l'angle droit.
  • Calculer un côté de l'angle droit à partir de l'hypoténuse et de l'autre côté.
  • Donner une valeur exacte sous forme de racine carrée, puis une valeur approchée avec l'arrondi demandé.
  • Utiliser la réciproque pour démontrer qu'un triangle est rectangle, et la contraposée pour démontrer qu'il ne l'est pas.
  • Choisir entre cosinus, sinus et tangente selon les longueurs connues et la longueur cherchée.
  • Calculer une longueur, puis un angle avec les touches inverses de la calculatrice, dans une situation concrète.

Au programme du chapitre

  1. Le triangle rectangle et son hypoténuse
  2. Le théorème de Pythagore
  3. Calculer la longueur de l'hypoténuse
  4. Calculer un côté de l'angle droit
  5. Valeur exacte et valeur approchée
  6. Démontrer qu'un triangle est rectangle — ou qu'il ne l'est pas
  7. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
  8. Calculer une longueur avec la trigonométrie
  9. Calculer un angle avec les touches inverses

Exercices corrigés

Exercice 1

Dans un triangle rectangle, pourquoi l'hypoténuse est-elle toujours le plus long des trois côtés ? Justifie à partir de l'égalité de Pythagore.
Un coup de pouce
Que peux-tu dire du nombre AC2AC^2 ? Est-il nul, positif, négatif ?
Voir la correction pas à pas
Notons le triangle ABCABC, rectangle en AA. L'égalité de Pythagore s'écrit BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2.
Comme ACAC est une longueur, AC2AC^2 est un nombre strictement positif. Le nombre BC2BC^2 est donc strictement plus grand que AB2AB^2, et de la même façon strictement plus grand que AC2AC^2.
Deux longueurs se comparent comme leurs carrés : si BC2>AB2BC^2 \gt AB^2 alors BC>ABBC \gt AB. On obtient donc BC>ABBC \gt AB et BC>ACBC \gt AC : l'hypoténuse dépasse chacun des deux côtés de l'angle droit.
Ce résultat est un outil de contrôle très pratique : si tu trouves un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, tu peux être certain d'avoir commis une erreur, sans même relire ton calcul.

Exercice 2

Le triangle ABCABC est rectangle en AA. Un élève écrit AB2=BC2+AC2AB^2 = BC^2 + AC^2. Explique pourquoi cette égalité est fausse, et teste-la sur un exemple chiffré.
Un coup de pouce
Quel côté est opposé à l'angle droit ? C'est lui qui doit être seul d'un côté du signe égal.
Voir la correction pas à pas
L'égalité de Pythagore place l'hypoténuse seule d'un côté du signe égal. Ici, le triangle est rectangle en AA : l'hypoténuse est [BC][BC], car c'est le côté opposé à l'angle droit. L'égalité correcte est donc BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2.
L'élève a mis [AB][AB], un simple côté de l'angle droit, à la place réservée à l'hypoténuse.
Test chiffré avec AB=3AB = 3 cm, AC=4AC = 4 cm et BC=5BC = 5 cm : l'égalité de l'élève donnerait 32=52+423^2 = 5^2 + 4^2, c'est-à-dire 9=419 = 41, ce qui est manifestement faux. L'égalité correcte donne 52=32+425^2 = 3^2 + 4^2, soit 25=2525 = 25.
Le réflexe à prendre est toujours le même : repérer l'angle droit, puis écrire en premier le carré du côté qui lui fait face.

Les pièges à éviter

  • Écrire l'égalité de Pythagore en plaçant un côté de l'angle droit là où doit figurer l'hypoténuse.
  • Additionner les carrés alors que l'inconnue est un côté de l'angle droit.
  • Oublier la racine carrée et annoncer BC=169BC = 169 cm au lieu de BC=13BC = 13 cm.
  • Écrire BC=8,6BC = 8{,}6 cm avec un signe égal alors que la valeur exacte est 74\sqrt{74}.

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