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Troisième · Mathématiques · Chapitre 7

Théorème de Thalès et agrandissement-réduction

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître une configuration de Thalès, en triangle ou en papillon.
  • Écrire correctement l'égalité des trois rapports du théorème de Thalès.
  • Calculer une longueur manquante à partir de cette égalité.
  • Utiliser la réciproque du théorème pour démontrer que deux droites sont parallèles.
  • Utiliser la contraposée pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.
  • Déterminer le rapport d'un agrandissement ou d'une réduction.
  • Calculer l'effet du rapport kk sur les longueurs, les aires et les volumes.

Au programme du chapitre

  1. Reconnaître une configuration de Thalès
  2. Le théorème de Thalès
  3. Calculer une longueur manquante
  4. La réciproque : démontrer que deux droites sont parallèles
  5. La contraposée : démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
  6. Agrandissement et réduction : le rapport kk
  7. Effet du rapport sur les longueurs, les aires et les volumes
  8. Échelles, maquettes et plans

Exercices corrigés

Exercice 1

Dans un triangle ABCABC avec M∈[AB]M \in [AB], N∈[AC]N \in [AC] et (MN) // (BC)(MN) \, // \, (BC), l'égalité MNBC=AMMB\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{MB} est-elle vraie ? Teste-la sur un exemple.
Un coup de pouce
Choisis des valeurs, calcule MBMB par soustraction, puis compare les deux quotients.
Voir la correction pas à pas
Elle est fausse. Prenons AM=3AM = 3 cm, AB=7,5AB = 7{,}5 cm et BC=9BC = 9 cm. Alors MB=AB−AM=7,5−3=4,5MB = AB - AM = 7{,}5 - 3 = 4{,}5 cm. Le théorème de Thalès donne MNBC=AMAB=37,5=0,4\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4, donc MN=3,6MN = 3{,}6 cm et MNBC=0,4\frac{MN}{BC} = 0{,}4. Or AMMB=34,5=23≈0,67\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4{,}5} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67. Les deux nombres sont différents : l'égalité proposée est fausse. La raison est simple : [MB][MB] n'est un côté ni du triangle AMNAMN, ni du triangle ABCABC. Les trois rapports de Thalès ne font intervenir que les côtés des deux triangles, comptés depuis le sommet commun AA.

Exercice 2

On double toutes les dimensions d'une piscine. Un élève affirme : « elle contiendra deux fois plus d'eau ». A-t-il raison ? Justifie avec un exemple chiffré.
Un coup de pouce
Calcule le volume d'un pavé avant et après, puis compare les deux résultats.
Voir la correction pas à pas
Il a tort. Doubler les dimensions, c'est un agrandissement de rapport k=2k = 2 : les longueurs sont multipliées par 2, mais les volumes sont multipliés par k3=8k^3 = 8.
Exemple : une piscine en forme de pavé de 10 m de long, 5 m de large et 2 m de profondeur a un volume de 10×5×2=10010 \times 5 \times 2 = 100 m³. Après doublement, elle mesure 20 m sur 10 m sur 4 m, soit 20×10×4=80020 \times 10 \times 4 = 800 m³. Le volume est bien multiplié par 8, pas par 2.
L'explication est visible dans le calcul : chacune des trois dimensions apporte son propre facteur 2, et 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8.

Les pièges à éviter

  • Appliquer le théorème de Thalès sans avoir vérifié — ni écrit — que les deux droites sont parallèles.
  • Inverser un rapport, en écrivant par exemple ABAM=ANAC\frac{AB}{AM} = \frac{AN}{AC}.
  • Écrire le troisième rapport sous la forme MNMB\frac{MN}{MB} ou AMMB\frac{AM}{MB}.
  • Utiliser la réciproque alors que les points ne sont pas placés dans le même ordre à partir du sommet.

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