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Troisième · Mathématiques · Chapitre 9

Transformations du plan et géométrie dans l'espace

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation, une rotation et une homothétie.
  • Construire l'image d'un point et d'une figure par chacune de ces transformations.
  • Citer les propriétés conservées : longueurs, angles, alignement, parallélisme.
  • Déterminer l'effet d'une homothétie de rapport kk sur les longueurs d'une figure.
  • Calculer le volume d'un prisme, d'un cylindre, d'une pyramide, d'un cône et d'une boule.
  • Déterminer la nature d'une section plane d'un cube, d'un pavé, d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère.
  • Se repérer sur la sphère terrestre à l'aide de la latitude et de la longitude.

Au programme du chapitre

  1. Transformer une figure : le vocabulaire
  2. Les deux symétries
  3. La translation
  4. La rotation
  5. L'homothétie
  6. Ce que les transformations conservent
  7. Les solides usuels et leurs volumes
  8. Les sections planes
  9. Agrandir un solide, et se repérer sur la sphère terrestre

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève affirme : « quand on coupe un cône par un plan parallèle à sa base, on obtient un disque identique à la base, comme pour le cylindre ». Que réponds-tu ?
Un coup de pouce
Dessine le cône de profil et trace un trait horizontal : la largeur du trait est-elle la même que celle de la base ?
Voir la correction pas à pas
C'est faux, et la confusion vient du cylindre.
Un cylindre a la même épaisseur du haut en bas : tous ses disques horizontaux sont identiques, donc la section parallèle à la base est bien un disque de même rayon que la base.
Un cône, lui, se rétrécit vers son sommet. La section parallèle à la base est donc un disque plus petit que la base. Plus précisément, le petit cône situé au-dessus de la coupe est une réduction du grand cône, et le rapport de cette réduction est le rapport des hauteurs.
Exemple : un cône de rayon 6 cm et de hauteur 15 cm, coupé à 5 cm du sommet. Le rapport vaut 515=13\dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}, donc le rayon de la section vaut 63=2\dfrac{6}{3} = 2 cm, et non 6 cm.
Seule la nature de la section est commune aux deux solides : c'est un disque dans les deux cas.

Exercice 2

Une pyramide et un prisme droit ont la même base et la même hauteur. Laquelle contient le plus, et dans quelle proportion ? Vérifie sur un exemple chiffré.
Un coup de pouce
Écris les deux formules l'une sous l'autre et compare-les avant de calculer.
Voir la correction pas à pas
Le prisme contient exactement trois fois plus que la pyramide.
Les formules le disent : Vprisme=B×hV_{\text{prisme}} = \mathcal{B} \times h alors que Vpyramide=B×h3V_{\text{pyramide}} = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}. La pyramide occupe donc le tiers du prisme correspondant.
Vérification avec une base carrée de 6 cm de côté et une hauteur de 10 cm :
prisme : B×h=36×10=360\mathcal{B} \times h = 36 \times 10 = 360 cm³ ;
pyramide : 36×103=120\dfrac{36 \times 10}{3} = 120 cm³.
On a bien 360=3×120360 = 3 \times 120.
La même remarque vaut pour le cône et le cylindre de même base et même hauteur. Le moyen mnémotechnique est simple : les solides qui se terminent en pointe ont un tiers dans leur formule, les autres non.

Les pièges à éviter

  • Confondre une rotation et une symétrie axiale parce que les deux « déplacent » la figure.
  • Décrire une rotation sans préciser le sens, ou sans préciser le centre.
  • Croire qu'une homothétie de rapport négatif donne une longueur négative.
  • Multiplier les angles par le rapport k lors d'une homothétie.

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