MyHEdison

Quatrième · Mathématiques · Chapitre 9

Pyramides et cônes : volumes, patrons, perspective cavalière, repérage dans l’espace

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître une pyramide et un cône de révolution, et nommer leur base, leur sommet et leur hauteur.
  • Expliquer pourquoi leur volume est le tiers de celui du prisme droit ou du cylindre de même base et de même hauteur.
  • Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône, et retrouver une hauteur ou un rayon à partir d’un volume.
  • Convertir des volumes entre m³, dm³, cm³ et litres.
  • Construire le patron d’une pyramide et d’un cône, et le relier à leur dessin en perspective cavalière.
  • Dessiner une pyramide et un cône en perspective cavalière, arêtes cachées en pointillés.
  • Se repérer dans un pavé droit avec une abscisse, une ordonnée et une altitude.

Au programme du chapitre

  1. Reconnaître une pyramide et un cône de révolution
  2. Le volume : un tiers du prisme ou du cylindre
  3. Calculer le volume d’une pyramide ou d’un cône
  4. Retrouver une hauteur ou un rayon
  5. Les unités de volume
  6. Le patron d’une pyramide et d’un cône
  7. La perspective cavalière
  8. Se repérer dans un pavé droit
  9. Tout relier : un monument célèbre

Exercices corrigés

Exercice 1

Un prisme droit et une pyramide ont la même base. La hauteur de la pyramide est le double de celle du prisme. Un élève affirme : « La pyramide est plus haute, donc son volume est plus grand. » A-t-il raison ? Justifie avec les formules.
Un coup de pouce
Écris les deux volumes avec les lettres B\mathcal{B} (aire de la base) et HH (hauteur du prisme), puis compare-les.
Voir la correction pas à pas
Notons B\mathcal{B} l’aire de la base commune et HH la hauteur du prisme. Le prisme a pour volume B×H\mathcal{B} \times H. La pyramide a pour hauteur 2H2H, donc pour volume B×2H3=23×B×H\dfrac{\mathcal{B} \times 2H}{3} = \dfrac{2}{3} \times \mathcal{B} \times H. Comme 23<1\dfrac{2}{3} \lt 1, la pyramide a un volume plus petit : les deux tiers de celui du prisme. L’élève a tort : être plus haut ne suffit pas, il faut aussi tenir compte du facteur 13\dfrac{1}{3}.

Exercice 2

Un cône de révolution a pour rayon 3 cm et pour hauteur 4 cm. Un élève calcule son volume avec le côté incliné (5 cm) à la place de la hauteur et trouve π×32×53=15π\dfrac{\pi \times 3^2 \times 5}{3} = 15\pi. Explique son erreur et donne le bon volume.
Un coup de pouce
Quelle longueur est perpendiculaire à la base ? Est-ce le côté incliné ?
Voir la correction pas à pas
La formule du volume utilise la hauteur, qui est perpendiculaire à la base : ici 4 cm. Le côté incliné (5 cm) est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la hauteur et un rayon : il est forcément plus long que la hauteur, donc le volume de l’élève est trop grand (15π≈47,1215\pi \approx 47{,}12 cm³). Le bon volume est V=π×32×43=12π≈37,70V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 4}{3} = 12\pi \approx 37{,}70 cm³.

Les pièges à éviter

  • Oublier la division par 3 : le résultat est 3 fois trop grand.
  • Prendre le diamètre pour le rayon dans un cône.
  • Utiliser une arête ou le côté incliné à la place de la hauteur.
  • Dans une pyramide à base triangulaire, utiliser la hauteur du triangle de base comme hauteur de la pyramide (ou l’inverse).

Pour aller plus loin

Le même thème dans d’autres classes

Mathématiques dans les autres classes

Réviser autrement