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Quatrième · Mathématiques · Chapitre 6

Le triangle rectangle : théorème de Pythagore, réciproque et cosinus

Ce que tu sauras faire

  • Nommer l’hypoténuse d’un triangle rectangle et le côté adjacent à un angle aigu.
  • Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle avec le théorème de Pythagore.
  • Démontrer qu’un triangle est rectangle (ou qu’il ne l’est pas) avec la réciproque, et rédiger la preuve.
  • Calculer une longueur avec le cosinus d’un angle aigu, en multipliant ou en divisant.
  • Déterminer la mesure d’un angle aigu à partir de deux longueurs, avec la touche cos⁻¹.
  • Distinguer valeur exacte et valeur approchée, et n’arrondir qu’à la dernière ligne.
  • Choisir le bon outil dans un problème concret (échelle, étagère, rampe, câble).

Au programme du chapitre

  1. Le triangle rectangle et son vocabulaire
  2. Le théorème de Pythagore
  3. Calculer une longueur avec Pythagore
  4. Valeur exacte, valeur approchée
  5. Reconnaître le triangle rectangle caché
  6. La réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
  7. Le cosinus d’un angle aigu
  8. Calculer avec le cosinus : une longueur ou un angle
  9. Quel outil choisir ? La synthèse

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi l’hypoténuse est-elle forcément le plus grand côté d’un triangle rectangle ? Appuie-toi sur l’égalité de Pythagore.
Un coup de pouce
Compare c2c^2 avec a2a^2 : que faut-il ajouter à a2a^2 pour obtenir c2c^2 ?
Voir la correction pas à pas
Notons cc l’hypoténuse et aa, bb les deux autres côtés. Pythagore donne c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2. Comme b2>0b^2 \gt 0, on a c2>a2c^2 \gt a^2. Les nombres positifs sont rangés comme leurs carrés, donc c>ac \gt a. Le même raisonnement donne c>bc \gt b : l’hypoténuse est strictement plus longue que chacun des deux autres côtés.

Exercice 2

Deux triangles rectangles ont un angle aigu de 50∘50^\circ. L’hypoténuse du premier mesure 4 cm, celle du second 12 cm. Ont-ils le même cosinus pour cet angle ? Compare leurs côtés adjacents.
Un coup de pouce
Rappelle-toi de quoi dépend le cosinus : de la taille du triangle, ou seulement de l’angle ?
Voir la correction pas à pas
Le cosinus ne dépend que de l’angle : dans les deux triangles, cos⁡50∘≈0,643\cos 50^\circ \approx 0{,}643. Le second triangle est un agrandissement du premier de coefficient 12÷4=312 \div 4 = 3. Son côté adjacent est donc 3 fois plus long : 4×cos⁡50∘≈2,574 \times \cos 50^\circ \approx 2{,}57 cm pour le premier, et 12×cos⁡50∘≈7,7112 \times \cos 50^\circ \approx 7{,}71 cm pour le second (3×2,57≈7,713 \times 2{,}57 \approx 7{,}71).

Les pièges à éviter

  • Prendre pour hypoténuse « le côté du bas » ou « le côté incliné » du dessin.
  • Additionner les carrés alors qu’on cherche un côté de l’angle droit (ou soustraire alors qu’on cherche l’hypoténuse).
  • S’arrêter à BC2=25BC^2 = 25 et écrire « BC=25BC = 25 ».
  • Appliquer Pythagore dans un triangle dont on ne sait pas s’il est rectangle.

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