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Quatrième · Mathématiques · Chapitre 1

Nombres relatifs et nombres rationnels : produits, quotients, inverse, priorités

Ce que tu sauras faire

  • Effectuer des produits et des quotients de nombres décimaux relatifs, avec la règle des signes.
  • Définir un nombre rationnel et reconnaître les différentes écritures d'un même nombre.
  • Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions, positives ou négatives.
  • Trouver l'inverse d'un nombre et l'utiliser pour calculer, notamment pour diviser.
  • Appliquer les priorités opératoires dans un calcul qui mélange relatifs et fractions.
  • Comparer, ranger et encadrer des nombres rationnels positifs ou négatifs.
  • Résoudre un problème avec des fractions et justifier un calcul par une démonstration courte.

Au programme du chapitre

  1. Les nombres rationnels
  2. Multiplier et diviser des décimaux relatifs
  3. Additionner et soustraire des fractions
  4. Multiplier des fractions
  5. L'inverse d'un nombre
  6. Diviser des fractions
  7. Les priorités opératoires
  8. Comparer, ranger, encadrer
  9. Résoudre des problèmes avec des fractions

Exercices corrigés

Exercice 1

Lola écrit : « (−3)×(−4)=12(-3) \times (-4) = 12, mais je ne comprends pas pourquoi deux nombres négatifs donneraient un nombre positif. » Explique-le-lui avec la suite de produits 3×(−4)3 \times (-4), 2×(−4)2 \times (-4), 1×(−4)1 \times (-4), etc., puis avec la situation du bassin qui se vide.
Un coup de pouce
Écris la suite des produits en baissant le premier facteur d'une unité à chaque fois et regarde comment varie le résultat.
Voir la correction pas à pas
Calculons la suite en diminuant de 1 le premier facteur : 3×(−4)=−123 \times (-4) = -12, 2×(−4)=−82 \times (-4) = -8, 1×(−4)=−41 \times (-4) = -4, 0×(−4)=00 \times (-4) = 0, puis (−1)×(−4)=4(-1) \times (-4) = 4, (−2)×(−4)=8(-2) \times (-4) = 8 et (−3)×(−4)=12(-3) \times (-4) = 12. À chaque ligne le résultat augmente de 4 ; on ne peut pas casser cette régularité, donc le résultat passe de négatif à positif.
Avec le bassin : le niveau varie de −4 cm par minute. Il y a 3 minutes, c'est « −3 minutes » ; comparé à maintenant, le niveau était 12 cm plus haut, donc la variation est +12+12 : (−3)×(−4)=12(-3) \times (-4) = 12. Remonter le temps (nombre négatif) dans une situation de baisse (nombre négatif) donne bien un résultat positif.

Exercice 2

Tom affirme : « Quand on multiplie un nombre par une fraction, on obtient toujours un résultat plus petit que le nombre de départ. » Vrai ou faux ? Justifie avec deux exemples.
Un coup de pouce
Cherche une fraction plus grande que 1, puis un nombre de départ négatif.
Voir la correction pas à pas
C'est faux. Un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale, en voici deux. Premier : 8×54=108 \times \frac{5}{4} = 10 et 10>810 \gt 8, parce que 54\frac{5}{4} est plus grand que 1. Second : (−8)×34=−6(-8) \times \frac{3}{4} = -6 et −6>−8-6 \gt -8, parce que le nombre de départ est négatif : multiplier par 34\frac{3}{4} le rapproche de 0. L'affirmation n'est vraie que dans un cas précis : un nombre positif multiplié par une fraction comprise entre 0 et 1.

Les pièges à éviter

  • Écrire (−3)×(−5)=−15(-3) \times (-5) = -15 en oubliant la règle des signes.
  • Appliquer « moins fois moins égale plus » à une addition : (−3)+(−5)=8(-3) + (-5) = 8.
  • Additionner les numérateurs et les dénominateurs : 12+13=25\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}.
  • Chercher un dénominateur commun pour multiplier ou diviser des fractions.

Pour aller plus loin

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