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Quatrième · Mathématiques · Chapitre 7

Cas d’égalité des triangles, théorème de Thalès et agrandissement-réduction

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître deux triangles égaux et nommer leurs éléments homologues.
  • Citer les trois cas d’égalité des triangles et reconnaître les situations où aucun ne s’applique.
  • Rédiger une démonstration qui utilise un cas d’égalité des triangles.
  • Calculer une longueur avec le théorème de Thalès (triangles emboîtés) et rédiger la solution.
  • Démontrer que deux droites sont parallèles, ou qu’elles ne le sont pas, avec la réciproque du théorème de Thalès.
  • Utiliser un rapport d’agrandissement ou de réduction pour calculer des longueurs, des aires et des volumes.
  • Construire un agrandissement ou une réduction et écrire un protocole de construction.

Au programme du chapitre

  1. Des triangles égaux : deux triangles superposables
  2. Les trois cas d’égalité
  3. Rédiger une démonstration avec les cas d’égalité
  4. Droites parallèles et rapports de longueurs
  5. Le théorème de Thalès
  6. La réciproque : démontrer que deux droites sont parallèles
  7. Agrandir et réduire une figure
  8. L’effet sur les aires et les volumes
  9. Construire un agrandissement ou une réduction, et écrire un protocole

Exercices corrigés

Exercice 1

On sait que les triangles ABCABC et DEFDEF sont égaux, avec AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm et CA=9CA = 9 cm. Donne DEDE, EFEF et FDFD. Pourquoi l’ordre des lettres est-il important dans l’écriture « ABCABC et DEFDEF » ?
Un coup de pouce
Le premier sommet de chaque nom se superpose au premier sommet de l’autre, et ainsi de suite.
Voir la correction pas à pas
Les sommets homologues sont A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Donc DE=AB=5DE = AB = 5 cm, EF=BC=7EF = BC = 7 cm et FD=CA=9FD = CA = 9 cm. L’ordre des lettres indique quel sommet se superpose à quel sommet : si l’on écrivait « ABCABC et DFEDFE », on dirait que BB se superpose à FF et l’on obtiendrait DF=5DF = 5 cm, ce qui n’est plus la même information.

Exercice 2

On agrandit un carré de côté 4 cm en multipliant toutes les longueurs par 3. Karim affirme : « L’aire sera multipliée par 3 aussi. » A-t-il raison ?
Un coup de pouce
Calcule l’aire avant et l’aire après, puis divise la seconde par la première.
Voir la correction pas à pas
Non. Le nouveau côté est 12 cm. L’aire passe de 4×4=164 \times 4 = 16 cm² à 12×12=14412 \times 12 = 144 cm². Or 144÷16=9=32144 \div 16 = 9 = 3^2 : l’aire est multipliée par k2=9k^2 = 9, pas par 3. Une aire se calcule avec deux longueurs, donc le coefficient kk intervient deux fois.

Les pièges à éviter

  • J’écris AMMB\dfrac{AM}{MB} au lieu de AMAB\dfrac{AM}{AB} dans le théorème de Thalès.
  • Je retourne un quotient en cours de route (je mélange AMAB\frac{AM}{AB} et ACAN\frac{AC}{AN}).
  • J’applique Thalès sans avoir vérifié que les droites sont parallèles.
  • Pour prouver un parallélisme, je commence par écrire l’égalité AMAB=ANAC\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}.

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